¿Por qué el '1' aparece
tan a menudo?
Fíjate en el primer dígito de casi cualquier colección grande de números reales: poblaciones, longitudes de ríos, precios de acciones, declaraciones de impuestos. Empieza por 1 en torno al 30% de las veces, y por 9 menos del 5% de las veces. Nadie lo diseñó así.
Acto uno
Elige una secuencia, cuenta los primeros dígitos
Esto se calcula en directo, ahora mismo, con matemáticas reales, sin trucos ni datos elegidos a dedo. Elige una secuencia y observa cómo sus primeros dígitos encajan con la predicción de Benford, la línea discontinua sobre cada barra.
Potencias de 2 desde 2^1 hasta 2^500. Aunque nada aquí se diseñó para seguir ninguna ley, encaja casi a la perfección.
Acto dos
¿Importa qué unidades uses?
Coge los mismos 1.000 números de Fibonacci y multiplica cada uno por una constante arbitraria, como si hubieras cambiado a una unidad que nadie ha oído nunca. Observa qué le pasa al patrón.
Multiplicar cada número por 1 no cambia nada, evidentemente. Prueba con los demás.
Los números inventados no conocen esta ley
En 1881, el astrónomo Simon Newcomb se fijó en algo curioso en los libros compartidos de tablas de logaritmos de la biblioteca de su universidad: las primeras páginas, las que cubren números que empiezan por 1, estaban mucho más desgastadas y sobadas que las últimas páginas, las que cubren números que empiezan por 9. La gente buscaba números que empezaban por 1 con mucha más frecuencia. Nadie le dio demasiada importancia hasta que el físico Frank Benford redescubrió el mismo patrón en 1938 y lo comprobó en más de veinte conjuntos de datos del mundo real sin relación entre sí, desde longitudes de ríos hasta estadísticas de béisbol, encontrando la misma distribución cada vez.
El mecanismo es la invariancia de escala que acabas de ver en el segundo acto. Los números que surgen del crecimiento, la multiplicación o mediciones que abarcan muchos órdenes de magnitud caen de forma natural en una escala logarítmica, y en una escala logarítmica el intervalo que cubren los números que empiezan por 1 es simplemente más ancho que el intervalo que cubren los que empiezan por 9. Ese es todo el secreto. No tiene nada que ver con los números en sí mismos y todo que ver con lo dispersos que están.
Los registros financieros genuinos, los informes de gastos, las declaraciones de impuestos y los recuentos electorales tienden a seguir de cerca la ley de Benford, porque están llenos de cantidades que surgen de forma natural y abarcan muchas magnitudes. Los números inventados normalmente no lo hacen, porque quien se inventa cifras tiende a repartir sus estimaciones de forma demasiado uniforme entre los nueve dígitos. Los auditores y contables forenses aplican exactamente este tipo de análisis de dígitos a declaraciones reales, y una distribución del primer dígito que parece sospechosamente plana en lugar de logarítmica suele bastar para justificar una revisión más de cerca.