Media ponderada
La media aritmética trata cada observación como igual de importante. La media ponderada la generaliza dejando que cada valor cuente en proporción a un peso \(w_i\), lo cual importa siempre que las observaciones de verdad no tengan la misma importancia, tamaño o fiabilidad.
La fórmula
La media ponderada sustituye la suma simple de la media aritmética por una suma ponderada, y divide entre la suma de los pesos en vez de entre el número de observaciones:
\[\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\]
La media aritmética ordinaria es el caso particular en el que todos los \(w_i\) son iguales: los pesos se cancelan por completo de la fórmula, dejando el promedio simple. Los pesos no tienen por qué sumar 1 ni 100, ya que la fórmula divide entre su total, solo importa su tamaño relativo.
Ejemplo resuelto: la rentabilidad ponderada de una cartera
Con tamaños tan distintos es justo donde la media ponderada y la media sin ponderar más se separan.
Un inversor mantiene cuatro posiciones. Cada una tiene su propia rentabilidad anual, pero las posiciones están lejos de tener el mismo tamaño, así que un promedio simple de las cuatro rentabilidades representaría mal cómo se comportó realmente la cartera.
| Inversión | Cantidad invertida | Rentabilidad |
|---|---|---|
| A | 10.000 $ | 8% |
| B | 25.000 $ | -3% |
| C | 5.000 $ | 15% |
| D | 60.000 $ | 5% |
Ponderando cada rentabilidad por la cantidad de dólares que hay detrás:
\[\bar{x}_w = \frac{10000(8) + 25000(-3) + 5000(15) + 60000(5)}{10000+25000+5000+60000} = \frac{380000}{100000} = 3{,}8\%\]
La media simple, sin ponderar, de las cuatro rentabilidades es \((8 - 3 + 15 + 5)/4 = 6{,}25\%\), notablemente más alta. La cifra sin ponderar se infla por el 15% de rentabilidad de la posición más pequeña (5.000 $) e ignora que el mayor lastre, el -3%, está en la segunda posición más grande (25.000 $). La media ponderada del 3,8% es el número que de verdad describe qué le pasó al dinero del inversor.
El color de cada barra muestra cuánto dinero hay detrás de cada rentabilidad. La media ponderada (rojo) queda muy por debajo de la media sin ponderar (azul), arrastrada hacia abajo por la posición B, grande y con rentabilidad negativa, exactamente la posición que un promedio sin ponderar infravaloraría.
Por qué ignorar los pesos es un error real
Tratar grupos de tamaños desiguales como si fueran del mismo tamaño no es una simplificación inofensiva, puede invertir por completo la conclusión práctica.
⚠️ Promediar tasas entre grupos de tamaños distintos
Supón que tres regiones registran tasas de paro del 4%, 9% y 12%, con poblaciones de 2.000.000, 500.000 y 100.000 habitantes respectivamente. El promedio simple, sin ponderar, de las tres tasas es \((4+9+12)/3 = 8{,}33\%\). La tasa nacional ponderada por población es \(5{,}27\%\), casi 3 puntos menos, porque el promedio sin ponderar le da en silencio a la región más pequeña (100.000 habitantes) la misma influencia que a la más grande (2.000.000 habitantes), veinte veces su peso real. Siempre que promedies una tasa, un porcentaje o una proporción entre grupos, pregúntate cuál era el tamaño de esos grupos y si un promedio simple los está tratando como iguales en secreto.
Hacerlo en R
La función weighted.mean() de R toma los valores y los pesos directamente, sin necesidad de implementar la fórmula a mano:
amount <- c(10000, 25000, 5000, 60000)
ret <- c(8, -3, 15, 5)
weighted.mean(ret, amount) # 3.8, ponderada por cantidad invertida
mean(ret) # 6.25, media simple sin ponderar💡 Dónde aparece la media ponderada en la práctica
Más allá de la rentabilidad de carteras, la media ponderada está por todas partes en cuanto se busca: los índices de precios al consumo promedian cambios de precios entre bienes ponderados por cuánto compra de cada uno un hogar típico; la nota media de un expediente académico pondera las notas de cada asignatura por sus créditos; los estadísticos de encuestas aplican pesos para corregir grupos que respondieron menos de lo que les correspondía por su peso real en la población; y la varianza también tiene su propia versión ponderada, usada siempre que las observaciones de partida son medias de grupos de tamaños muestrales distintos en vez de mediciones individuales brutas.
