Test de Bartlett
El test de Bartlett contrasta si dos o más grupos tienen varianzas poblacionales iguales, exactamente la misma pregunta que el test de Levene, pero asume que los datos siguen una distribución normal dentro de cada grupo, algo que el test de Levene no exige. Cuando la normalidad se cumple de verdad, Bartlett es más potente; cuando no, Bartlett se vuelve poco fiable, propenso a falsos positivos. También generaliza a cualquier número de grupos el test F de dos grupos.
Hipótesis
\[H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2\]
\[H_1: \text{al menos una } \sigma_i^2 \text{ difiere}\]
Las mismas hipótesis que el test de Levene, solo cambian los supuestos y el estadístico del contraste.
Estadístico del test de Bartlett
El estadístico compara la varianza propia de cada grupo frente a la varianza combinada de todos ellos, ponderada por los grados de libertad:
\[B = \frac{(N-k)\ln(S_p^2) - \sum_{i=1}^k (n_i-1)\ln(S_i^2)}{C}\]
donde la varianza combinada es \(S_p^2 = \frac{\sum_i (n_i-1)S_i^2}{N-k}\), y \(C = 1 + \frac{1}{3(k-1)}\left(\sum_i \frac{1}{n_i-1} - \frac{1}{N-k}\right)\) es un factor de corrección para muestras pequeñas. Bajo \(H_0\), \(B \sim \chi^2(k-1)\) de forma aproximada.
Ejemplo resuelto: los mismos datos del post del test de Levene
Reutilizar exactamente las mismas tres máquinas permite comparar el resultado de Bartlett directamente contra el de Levene sobre los mismos datos.
Tres máquinas producen 5 unidades cada una; los ingenieros de calidad miden una dimensión (mm) para comprobar si las máquinas son igual de consistentes:
- Máquina A: 23, 25, 24, 26, 22 (\(s_A^2 = 2{,}5\))
- Máquina B: 20, 30, 15, 35, 25 (\(s_B^2 = 62{,}5\))
- Máquina C: 24, 24, 25, 23, 24 (\(s_C^2 = 0{,}5\))
Varianza combinada:
\[S_p^2 = \frac{4(2{,}5) + 4(62{,}5) + 4(0{,}5)}{12} = \frac{10+250+2}{12} = 21{,}833\]
Estadístico de Bartlett (calculado con la fórmula anterior): \(B = 17{,}611\), \(gl = k-1 = 2\), \(p\text{-valor} = 0{,}00015\).
Decisión: rechazamos \(H_0\) en cualquier nivel convencional, la misma conclusión que el test de Levene sobre estos mismos datos (que dio \(W = 7{,}438\), \(p = 0{,}00792\)). El p-valor de Bartlett aquí (0,00015) es incluso menor que el de Levene (0,00792): ambos coinciden en que las varianzas difieren, pero el estadístico de Bartlett reacciona con más fuerza ante los mismos datos. Este conjunto de datos concreto está lo bastante cerca de la normalidad como para que Bartlett se comporte de forma fiable aquí; la preocupación general, que se trata a continuación, es qué ocurre cuando no lo está.
Ambos tests coinciden con estos datos: la dispersión mucho mayor de la máquina B es lo que produce un resultado significativo en cualquiera de los dos.
La verdadera debilidad de Bartlett: sensibilidad a la falta de normalidad
Los datos de las máquinas anteriores resultaron bien comportados, pero eso no está garantizado, y el test de Bartlett penaliza las desviaciones de la normalidad con mucha más dureza que el de Levene.
⚠️ El test de Bartlett es extremadamente sensible a la falta de normalidad
A diferencia de la coincidencia entre Bartlett y Levene en los datos de las máquinas anteriores, el test de Bartlett puede dar un resultado significativo engañoso con datos no normales incluso cuando las varianzas poblacionales reales son iguales, simplemente porque los datos son asimétricos o de colas pesadas, no porque las varianzas realmente difieran. Esto refleja exactamente la misma fragilidad ya documentada para el test F clásico, que también es un test de varianza que depende de la normalidad. El test de Levene, y en especial su variante Brown-Forsythe centrada en la mediana, se desarrolló precisamente para evitar esta trampa. Verifica siempre la normalidad primero (Shapiro-Wilk, o un gráfico Q-Q) antes de confiar en un resultado del test de Bartlett; si la normalidad está en duda, prefiere el test de Levene.
Bartlett frente a Levene frente al test F: cómo elegir
| Test | Grupos | Exige normalidad | Robustez frente a atípicos |
|---|---|---|---|
| Test F | Solo 2 | Sí, estrictamente | Baja |
| Test de Bartlett | 2 o más | Sí, estrictamente | Baja |
| Test de Levene | 2 o más | No | Moderada a alta |
Regla general: datos verificados como normales, usa Bartlett, la opción más potente cuando el supuesto se cumple de verdad. Datos no normales o sin verificar, usa el test de Levene, la opción segura por defecto.
Realizar el test en R
Las mismas tres máquinas, contrastadas con bartlett.test() y comparadas directamente con leveneTest() sobre los mismos datos:
values <- c(23,25,24,26,22, 20,30,15,35,25, 24,24,25,23,24)
group <- factor(rep(c("A","B","C"), each = 5))
bartlett.test(values ~ group)
# Comparación directa con el test de Levene sobre los mismos datos
library(car)
leveneTest(values ~ group)💡 Comprueba la normalidad antes de confiar en el test de Bartlett
Antes de ejecutar el test de Bartlett, comprueba la normalidad dentro de cada grupo (Shapiro-Wilk por separado en cada grupo, o gráficos Q-Q). Si algún grupo muestra una desviación clara de la normalidad, especialmente asimetría, cambia al test de Levene, y trata cualquier resultado del test de Bartlett sobre datos visiblemente no normales con escepticismo real: un p-valor pequeño podría estar reflejando simplemente la falta de normalidad, no varianzas realmente desiguales.
