Test HSD de Tukey

Tras un ANOVA significativo, solo sabemos que al menos una media de grupo difiere de las demás, no cuáles. El test HSD de Tukey (Diferencia Significativa Honesta) responde a esa pregunta, contrastando todas las comparaciones por pares de medias de grupo mientras controla la tasa de error de tipo I global (familiar) en el \(\alpha\) elegido. El test F global del ANOVA es un requisito previo: el HSD de Tukey solo tiene sentido una vez que ese test ya ha rechazado \(H_0\).

¿Por qué no aplicar directamente tests t por pares?

El problema de las comparaciones múltiples ya se introdujo en la entrada sobre el ANOVA, pero merece la pena ver los números exactos para este ejemplo. Con \(k=3\) grupos hay \(\binom{3}{2}=3\) comparaciones por pares posibles. Si cada una se contrasta con un test t independiente a \(\alpha=0,05\), la probabilidad de al menos un falso positivo entre las 3 comparaciones es:

\[1 - 0{,}95^3 \approx 0{,}143\]

Eso es casi tres veces la tasa nominal del 5%, solo por realizar tres tests sobre los mismos datos. En general, para \(m\) comparaciones independientes realizadas cada una al nivel \(\alpha\), la tasa de error familiar es \(1-(1-\alpha)^m\), que crece rápidamente: con 5 grupos hay \(\binom{5}{2}=10\) comparaciones y la tasa de error familiar supera el 40%. El HSD de Tukey soluciona esto usando un valor crítico más amplio, diseñado específicamente para este problema, de modo que la probabilidad de cualquier falso positivo entre todas las comparaciones se mantiene en \(\alpha\), sin importar cuántos pares se contrasten.

La distribución del rango estudentizado y la fórmula del HSD

El método de Tukey se basa en el estadístico del rango estudentizado \(q\), la distribución de (la mayor media de grupo menos la menor media de grupo) dividida entre el error estándar, en \(k\) grupos normales independientes. En lugar de comparar cada par frente al valor crítico t habitual, cada comparación se juzga frente al valor crítico de esta distribución del rango, que ya tiene en cuenta que se están comparando \(k\) medias simultáneamente.

Para tamaños de grupo iguales \(n\), la diferencia mínima entre dos medias necesaria para considerarse “significativa” es:

donde \(q_{\alpha,k,N-k}\) es el valor crítico de la distribución del rango estudentizado (\(k\) = número de grupos, \(N-k\) = grados de libertad residuales/dentro del ANOVA), y \(CM_D\) es el cuadrado medio dentro de grupos de la tabla ANOVA, la misma estimación de varianza combinada que usa el propio test F. Cualquier par de medias de grupo cuya diferencia absoluta supere el HSD se declara significativamente distinto.

El valor crítico del rango estudentizado \(q_{\alpha,k,N-k}\) es siempre mayor que el valor crítico t de dos muestras correspondiente, y crece con \(k\): comparar más grupos hace más difícil que un par concreto supere el umbral, que es exactamente la “penalización” que mantiene la tasa de error familiar en \(\alpha\) en lugar de dejar que se infle con cada comparación adicional. Cuando \(k=2\), solo hay una comparación posible y el test del rango estudentizado se reduce a un test t de dos muestras ordinario.

Aplicando el HSD de Tukey al ejemplo de las dietas

El ANOVA ya dijo que las tres dietas no son todas iguales; el HSD de Tukey es lo que concreta qué pares exactos provocan ese resultado:

¿Qué dietas difieren realmente? (retomando el ejemplo del ANOVA)

Recordemos el ejemplo de pérdida de peso con tres dietas: Dieta A (\(n=5\), \(\bar y_A = 5{,}4\)), Dieta B (\(n=5\), \(\bar y_B = 8{,}4\)), Dieta C (\(n=5\), \(\bar y_C = 2{,}8\)). La tabla ANOVA dio \(CM_D = 1{,}100\) con \(gl_D = N-k = 12\), y el test F global ya era significativo (\(F=35{,}70\), \(p<0,001\)), por lo que una comparación post-hoc está justificada.

El valor crítico de la distribución del rango estudentizado para \(k=3\) grupos y \(gl_D=12\) a \(\alpha=0,05\) es \(q_{0,05,3,12} = 3{,}773\).

\[\text{HSD} = 3{,}773 \times \sqrt{\frac{1{,}100}{5}} = 3{,}773 \times 0{,}4690 = 1{,}770\]

Cualquier diferencia por pares en valor absoluto mayor que 1,770 kg es estadísticamente significativa a \(\alpha=0,05\).

Comparación	Diferencia	IC 95%	¿Significativa?
B \(-\) A	3,0	(1,230, 4,770)	Sí (\(p=0,0019\))
C \(-\) A	\(-2,6\)	(\(-4,370\), \(-0,830\))	Sí (\(p=0,0053\))
C \(-\) B	\(-5,6\)	(\(-7,370\), \(-3,830\))	Sí (\(p<0,0001\))

Las tres diferencias por pares superan 1,770 kg en valor absoluto, así que las tres son significativas: la dieta B produce una pérdida de peso significativamente mayor que la dieta A, que a su vez supera significativamente a la dieta C. Las tres dietas forman un orden estricto, no solo “al menos una difiere”.

Los tres marcadores aparecen en rojo porque cada intervalo queda enteramente a un lado del 0: ninguna de las tres comparaciones se acerca a la línea de referencia discontinua, lo que es coherente con tres dietas claramente separadas en cuanto a efecto, no solo distinguibles por poco en el umbral \(\alpha=0,05\).

Interpretar directamente el intervalo de confianza

Un intervalo de confianza por pares que excluye el 0 equivale exactamente a que ese par sea significativo. Para B \(-\) A, el intervalo (1,230, 4,770) excluye el 0, lo que confirma la significación sin necesidad siquiera de mirar el p-valor. El intervalo además indica el rango plausible del tamaño real del efecto: la dieta B supera a la dieta A entre aproximadamente 1,2 y 4,8 kg, información que el p-valor por sí solo nunca revela. La misma lógica se aplica a las otras dos comparaciones: ningún intervalo contiene el 0, así que ambas son significativas, y ambas ofrecen un rango concreto para el tamaño de la diferencia.

Supuestos

Dado que el HSD de Tukey reutiliza la estimación de varianza combinada del modelo ANOVA, \(CM_D\), hereda todos los supuestos del ANOVA:

• Independencia: las observaciones son independientes dentro de cada grupo y entre grupos.
• Normalidad: los residuos son aproximadamente normales dentro de cada grupo, verificada con el test de Shapiro-Wilk o gráficos Q-Q.
• Homocedasticidad: varianzas iguales entre grupos, verificada con el test de Levene. Este supuesto es el que más importa específicamente para el HSD de Tukey, ya que cada comparación usa el mismo \(CM_D\) combinado como estimación de la varianza. Si un grupo es realmente más variable que los demás, las comparaciones que lo incluyen reciben una estimación de dispersión demasiado pequeña o demasiado grande, lo que distorsiona la amplitud de cada intervalo HSD que lo involucra.

Los tamaños de grupo desiguales se gestionan con una variante, el método de Tukey-Kramer, que sustituye \(\sqrt{CM_D/n}\) por:

\[\sqrt{\frac{CM_D}{2}\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}\]

para cada par concreto \(i,j\), de modo que los pares que incluyen grupos más pequeños obtienen automáticamente un intervalo más amplio y conservador.

Realizar el test en R

TukeyHSD() toma directamente un objeto aov() ya ajustado y devuelve todas las comparaciones por pares con su intervalo de confianza y p-valor ajustados:

perdida <- c(4,5,6,5,7, 8,7,9,10,8, 3,2,4,3,2)
dieta <- factor(rep(c("A","B","C"), each = 5))

fit <- aov(perdida ~ dieta)
summary(fit)          # confirma primero que el test F global es significativo
TukeyHSD(fit)          # comparaciones por pares con IC al 95%
plot(TukeyHSD(fit))    # gráfico base R de los intervalos

# Verificación manual del valor crítico
qtukey(0.95, nmeans = 3, df = 12)   # = 3.773

TukeyHSD() devuelve las columnas diff, lwr y upr para cada comparación por pares, con la diferencia de medias y su intervalo de confianza al 95%, además de una columna p adj ya ajustada por el número de comparaciones, que puede compararse directamente con \(\alpha\) sin necesidad de ninguna corrección adicional. plot(TukeyHSD(fit)) dibuja el mismo tipo de gráfico de intervalos mostrado antes usando los gráficos base de R.