Teorema central del límite

El teorema central del límite (TCL) es uno de los resultados más importantes de toda la estadística. Explica por qué tantos procedimientos estadísticos, contrastes t, intervalos de confianza, ANOVA, pueden apoyarse en una aproximación normal aunque los datos originales no sean normales en absoluto, siempre que se esté observando una suma o una media de muchas observaciones, y no las observaciones individuales.

Qué dice realmente el teorema

Sean \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas procedentes de cualquier población con media finita \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2\). La población en sí puede tener cualquier forma: asimétrica, bimodal, uniforme, lo que sea, siempre que tenga media y varianza finitas. Se define la media muestral como:

\[\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

Cuando \(n \to \infty\):

En este único teorema se agrupan tres afirmaciones distintas, y las tres importan:

1. Forma: la distribución muestral de \(\bar{X}_n\) se vuelve aproximadamente normal, sin importar la forma original de la población.
2. Centro: está centrada exactamente en la media poblacional \(\mu\) (sin sesgo).
3. Dispersión: su dispersión se reduce a un ritmo preciso y conocido, el error estándar \(\sigma/\sqrt{n}\), de modo que la precisión mejora proporcionalmente a \(\sqrt{n}\), no a \(n\) (cuadruplicar el tamaño muestral solo reduce el error estándar a la mitad).

Una demostración concreta: muestreo desde una población asimétrica

Para que la conclusión del teorema resulte llamativa, se parte de una población deliberadamente en el “peor caso”: la distribución exponencial con tasa \(1\). Tiene media \(\mu = 1\), desviación típica \(\sigma = 1\), y es fuertemente asimétrica a la derecha, nada parecida a una campana de Gauss.

Ahora se extraen repetidamente muestras de tamaño \(n\) de esta población, se calcula la media de cada muestra, y se observa la distribución de esas medias: la distribución muestral de \(\bar{X}_n\).

Distribución muestral de la media, n = 2, 5, 30, 100

Se simularon 20.000 medias muestrales replicadas para cada tamaño muestral \(n\) a partir de una Exponencial(tasa=1), con set.seed(123):

set.seed(123)
results <- sapply(c(2, 5, 30, 100), function(n) {
  means <- replicate(20000, mean(rexp(n, rate = 1)))
  c(mean = mean(means), sd = sd(means))
})

Tamaño muestral \(n\)	Media de \(\bar{X}_n\) en 20.000 muestras simuladas	DE de \(\bar{X}_n\) (simulada)	EE teórico \(=\sigma/\sqrt{n}\)
2	1,002	0,702	0,707
5	0,993	0,445	0,447
30	1,001	0,182	0,183
100	1,000	0,0989	0,100

Hay que fijarse en dos cosas. La media simulada de \(\bar{X}_n\) se mantiene esencialmente en \(\mu=1\) para cada \(n\) (afirmación 2, sin sesgo, incluso con \(n=2\)), mientras que la DE simulada de \(\bar{X}_n\) se reduce y coincide casi exactamente con la fórmula teórica \(\sigma/\sqrt{n}\) en cada uno de los tamaños (afirmación 3). Lo que cambia con \(n\) es únicamente la forma de la distribución (afirmación 1): con \(n=2\), la distribución muestral de \(\bar{X}_2\) sigue siendo visiblemente asimétrica a la derecha, heredando la asimetría de la población; con \(n=30\) ya se parece bastante a una campana simétrica; con \(n=100\) es prácticamente indistinguible de una normal.

Los histogramas azules son las distribuciones muestrales simuladas de \(\bar{X}_n\); la línea roja discontinua es la curva normal teórica \(N(\mu, \sigma^2/n)\) que predice el TCL. Con \(n=2\) el histograma todavía se inclina visiblemente hacia la derecha, alejado de la curva normal. Con \(n=30\) y \(n=100\), el histograma y la curva normal teórica quedan casi superpuestos, aunque la población de la que proceden nunca se pareció remotamente a una normal.

Por qué esto importa en la práctica

El TCL es la justificación teórica detrás de una enorme parte de la estadística aplicada en esta web:

• El contraste z y el contraste t para una media de una sola muestra dependen de que la distribución muestral de \(\bar{X}_n\) sea aproximadamente normal.
• Los intervalos de confianza para una media se construyen directamente a partir de la aproximación normal (o t) a la distribución muestral de \(\bar{X}_n\).
• La robustez del ANOVA frente a desviaciones leves de la normalidad procede de la misma fuente: el estadístico del contraste se construye a partir de medias de grupo, y el TCL empuja esas medias hacia la normalidad aunque los datos brutos no lo sean.

Ninguno de estos métodos exige que los datos originales sean normales, solo que el estadístico relevante (típicamente una media o una suma) sea en sí mismo aproximadamente normal, algo que el TCL garantiza para un \(n\) suficientemente grande.

Ejecutar la simulación en R

set.seed(123)

# Población: Exponencial(tasa = 1), media = 1, de = 1, fuertemente asimétrica
hist(rexp(100000, rate = 1), breaks = 60, main = "Forma de la población")

# Distribuciones muestrales de la media para n crecientes
for (n in c(2, 5, 30, 100)) {
  means <- replicate(20000, mean(rexp(n, rate = 1)))
  cat("n =", n,
      " media =", round(mean(means), 3),
      " de =",    round(sd(means), 3),
      " EE teórico =", round(1/sqrt(n), 3), "\n")
}