Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli modela um único ensaio com exatamente dois resultados possíveis: sucesso (1) com probabilidade \(p\), e fracasso (0) com probabilidade \(1-p\). É a distribuição discreta mais simples e o bloco de construção da distribuição binomial.
Definição
Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro \(p \in [0, 1]\), escrita \(X \sim \text{Bernoulli}(p)\), se:
\[P(X = x) = p^x (1-p)^{1-x} \quad \text{para } x \in \{0, 1\}\]
O que é equivalente a:
\[P(X = 1) = p \quad \text{(sucesso)}, \qquad P(X = 0) = 1 - p \quad \text{(fracasso)}\]
O parâmetro \(p\) é a probabilidade de sucesso. Todo o resto sobre a distribuição decorre desse único número.
Função de massa de probabilidade e CDF
A PMF atribui probabilidade \(p\) ao resultado 1 e \(1-p\) ao resultado 0. A CDF é:
\[F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ 1-p & \text{se } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{se } x \geq 1 \end{cases}\]
Propriedades
Para \(X \sim \text{Bernoulli}(p)\):
- Valor esperado (média)
\[E(X) = p\]
- Variância
\[\text{Var}(X) = p(1-p)\]
A variância é maximizada em \(p = 0{,}5\) (valor de \(0{,}25\)) e é igual a zero quando \(p = 0\) ou \(p = 1\) (casos degenerados sem aleatoriedade).
- Assimetria
\[\text{Assimetria} = \frac{1 - 2p}{\sqrt{p(1-p)}}\]
A distribuição é simétrica apenas quando \(p = 0{,}5\). Para \(p < 0{,}5\) ela tem assimetria à direita; para \(p > 0{,}5\) tem assimetria à esquerda.
- Curtose
\[g_2 = \frac{1 - 6p(1-p)}{p(1-p)}\]
Para \(p = 0{,}5\): \(g_2 = (1 - 1{,}5)/0{,}25 = -2\), fortemente platicúrtica.
- Função quantil
\[Q(u) = \begin{cases} 0 & \text{se } u \leq 1 - p \\ 1 & \text{se } u > 1 - p \end{cases}\]
Exemplo: controle de qualidade na produção
Uma fábrica produz placas de circuito com uma taxa de defeitos de 15%. Cada placa é defeituosa (sucesso = 1, \(p = 0{,}15\)) ou não defeituosa (fracasso = 0, \(1-p = 0{,}85\)). Seja \(X \sim \text{Bernoulli}(0{,}15)\).
- \(P(X = 1) = 0{,}15\): probabilidade de uma placa selecionada aleatoriamente ser defeituosa.
- \(P(X = 0) = 0{,}85\): probabilidade de ela passar na inspeção.
- \(E(X) = 0{,}15\): em média, 15% das placas são defeituosas.
- \(\text{Var}(X) = 0{,}15 \times 0{,}85 = 0{,}1275\).
Se 200 placas forem inspecionadas de forma independente, o número total de placas defeituosas segue uma distribuição \(\text{Binomial}(200, 0{,}15)\), que é a soma de 200 variáveis Bernoulli(0,15) independentes.
- Filtro de spam: cada e-mail recebido é spam (1) ou não (0). Se 30% dos e-mails são spam, \(X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3)\).
- Ensaio clínico: um paciente responde ao tratamento (1) ou não (0). Se a taxa de resposta é de 60%, \(X \sim \text{Bernoulli}(0{,}6)\).
- Lance livre: um jogador de basquete acerta (1) ou erra (0) um lance com probabilidade igual à sua média de carreira.
⚠️ Não confunda o parâmetro p com um p-valor
Na distribuição de Bernoulli, (p) é a probabilidade de sucesso, uma característica fixa do processo modelado. Um p-valor em testes de hipóteses é um conceito completamente diferente: é a probabilidade de observar resultados pelo menos tão extremos quanto os dados, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. A notação compartilhada causa confusão, especialmente em cursos introdutórios.
Relação com a distribuição binomial
A distribuição de Bernoulli é o caso particular da distribuição binomial com \(n = 1\):
\[\text{Binomial}(1, p) = \text{Bernoulli}(p)\]
Mais importante ainda, se \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) são variáveis \(\text{Bernoulli}(p)\) independentes, sua soma:
\[S = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \sim \text{Binomial}(n, p)\]
É por isso que a distribuição de Bernoulli é chamada de bloco de construção da binomial: toda contagem binomial é uma soma de ensaios de Bernoulli independentes.
💡 Quando usar a distribuição de Bernoulli
