Distribuição F

A distribuição F surge como a razão entre duas variáveis qui-quadrado divididas pelos seus graus de liberdade. É sempre não negativa e assimétrica à direita, e é a distribuição de referência para a ANOVA, os testes F em regressão e os testes de comparação de duas variâncias.

Definição

Se \(U \sim \chi^2(d_1)\) e \(V \sim \chi^2(d_2)\) são independentes, então:

\(F\) segue uma distribuição F com \(d_1\) graus de liberdade do numerador e \(d_2\) graus de liberdade do denominador. Sua PDF é:

em que \(B\) é a função beta. A CDF não tem forma fechada e é calculada numericamente.

Efeito dos graus de liberdade

Tanto \(d_1\) quanto \(d_2\) afetam a forma:

• \(d_1\) ou \(d_2\) pequenos: fortemente assimétrica à direita com uma cauda longa.
• \(d_1\) e \(d_2\) grandes: a distribuição se torna mais simétrica e se concentra perto de 1 (já que as duas variáveis qui-quadrado se aproximam de suas médias).
• \(d_1 = 1\): a distribuição tem uma singularidade em 0 e decai lentamente.
• \(d_2 \to \infty\): \(d_1 \cdot F(d_1, d_2) \to \chi^2(d_1)\).

Propriedades

Para \(X \sim F(d_1, d_2)\):

1. Valor esperado (média)

\[E(X) = \frac{d_2}{d_2 - 2}, \quad \text{para } d_2 > 2\]

A média é sempre maior que 1 e se aproxima de 1 quando \(d_2 \to \infty\).

2. Variância

\[\text{Var}(X) = \frac{2d_2^2(d_1 + d_2 - 2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}, \quad \text{para } d_2 > 4\]

3. Assimetria

\[\text{Assimetria} = \frac{(2d_1 + d_2 - 2)\sqrt{8(d_2-4)}}{(d_2-6)\sqrt{d_1(d_1+d_2-2)}}, \quad \text{para } d_2 > 6\]

Sempre positiva: a distribuição F é sempre assimétrica à direita.

4. Moda

\[\text{Moda} = \frac{d_1 - 2}{d_1} \cdot \frac{d_2}{d_2 + 2}, \quad \text{para } d_1 > 2\]

5. Função quantílica

Não tem forma fechada. Os valores críticos são lidos em tabelas F ou calculados com software. Em R: qf(0.95, df1, df2).

Aplicações

ANOVA de um fator

A ANOVA testa se as médias de \(k\) grupos são todas iguais. A estatística do teste é:

\[F = \frac{\text{QM}_{\text{entre}}}{\text{QM}_{\text{dentro}}} = \frac{\text{SQ}_{\text{entre}}/(k-1)}{\text{SQ}_{\text{dentro}}/(n-k)} \sim F(k-1,\, n-k)\]

sob \(H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k\).

Um F grande significa que a variabilidade entre grupos é muito maior do que a variabilidade dentro dos grupos, o que é evidência contra a igualdade das médias.

ANOVA de um fator: efeito do fertilizante na produtividade

Três tipos de fertilizante são testados em 5 parcelas cada um (\(k=3\), \(n=15\)). A tabela da ANOVA é:

Fonte	SQ	gl	QM	F
Entre grupos	84,4	2	42,2	7,34
Dentro dos grupos	69,0	12	5,75
Total	153,4	14

Valor crítico: \(F_{0{,}95}(2,\, 12) \approx 3{,}89\).

Como \(7{,}34 > 3{,}89\), rejeitamos \(H_0\): pelo menos um tipo de fertilizante produz uma produtividade média diferente (\(p \approx 0{,}008\)).

Teste F na regressão

Na regressão linear múltipla com \(p\) preditores e \(n\) observações, o teste F global verifica se algum preditor é útil:

\[F = \frac{R^2/p}{(1-R^2)/(n-p-1)} \sim F(p,\, n-p-1)\]

sob \(H_0\) de que todos os coeficientes de regressão são zero.

Teste F na regressão

Um modelo de regressão com \(p = 4\) preditores é ajustado a \(n = 50\) observações. O modelo atinge \(R^2 = 0{,}62\).

\[F = \frac{0{,}62/4}{0{,}38/45} = \frac{0{,}155}{0{,}00844} \approx 18{,}4\]

Valor crítico: \(F_{0{,}95}(4,\, 45) \approx 2{,}58\).

Como \(18{,}4 \gg 2{,}58\), rejeitamos \(H_0\) com força: o modelo explica uma proporção significativa da variância (\(p < 0{,}001\)).

Teste de igualdade de duas variâncias

Para testar \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) usando amostras de tamanhos \(n_1\) e \(n_2\):

\[F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1 - 1,\, n_2 - 1)\]

sob \(H_0\). Valores distantes de 1 (em qualquer direção) sugerem variâncias desiguais.

Figure 1: Distribuição F(2,12): a região de rejeição a α=0,05 começa no valor crítico 3,89