Distribuição Gama

A distribuição gama é uma distribuição contínua flexível que generaliza a exponencial. Enquanto a exponencial modela o tempo de espera até o primeiro evento, a gama modela o tempo de espera até o \(k\)-ésimo evento em um processo de Poisson.

Definição

Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição gama com parâmetro de forma \(k > 0\) e parâmetro de taxa \(\lambda > 0\), escrita \(X \sim \text{Gamma}(k, \lambda)\), se sua PDF é:

onde \(\Gamma(k) = \int_0^\infty t^{k-1} e^{-t}\, dt\) é a função gama. Para inteiros positivos, \(\Gamma(k) = (k-1)!\). Por exemplo, \(\Gamma(3) = 2! = 2\) e \(\Gamma(5) = 4! = 24\).

Uma parametrização equivalente usa o parâmetro de escala \(\theta = 1/\lambda\):

\[f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\, \theta^k}, \quad x > 0\]

Função de Densidade de Probabilidade e CDF

A CDF é expressa por meio da função gama incompleta inferior:

\[F(x) = \frac{\gamma(k,\, \lambda x)}{\Gamma(k)}\]

onde \(\gamma(k, u) = \int_0^u t^{k-1} e^{-t}\, dt\). Não existe forma fechada para \(k\) geral; as probabilidades são calculadas numericamente.

Propriedades

Para \(X \sim \text{Gamma}(k, \lambda)\):

1. Valor esperado (média)

\[E(X) = \frac{k}{\lambda}\]

2. Variância

\[\text{Var}(X) = \frac{k}{\lambda^2}\]

3. Assimetria

\[\text{Assimetria} = \frac{2}{\sqrt{k}}\]

A distribuição é assimétrica à direita para \(k\) pequeno e se torna progressivamente mais simétrica conforme \(k\) aumenta. Para \(k\) grande, a gama se aproxima de uma distribuição normal.

4. Curtose

\[g_2 = \frac{6}{k}\]

5. Moda

\[\text{Moda} = \frac{k-1}{\lambda} \quad \text{para } k \geq 1\]

Para \(k < 1\), a distribuição é monotonicamente decrescente e a moda é 0.

6. Função quantil

Não existe forma fechada; calculada numericamente.

Casos especiais

A distribuição gama unifica várias distribuições importantes:

• Exponencial: \(\text{Gamma}(1, \lambda) = \text{Exp}(\lambda)\). O tempo de espera até o primeiro evento.
• Erlang: \(\text{Gamma}(k, \lambda)\) com \(k\) inteiro positivo. O tempo de espera até o \(k\)-ésimo evento em um processo de Poisson com taxa \(\lambda\).
• Qui-quadrado: \(\text{Gamma}(\nu/2,\, 1/2) = \chi^2(\nu)\). Fundamental em testes de hipóteses e intervalos de confiança.

Soma de exponenciais

Se \(X_1, X_2, \ldots, X_k\) são variáveis aleatórias \(\text{Exp}(\lambda)\) independentes, sua soma:

\[S = X_1 + X_2 + \cdots + X_k \sim \text{Gamma}(k, \lambda)\]

Esta é a interpretação mais intuitiva: se cada evento exige um tempo de espera exponencial, o tempo total até que ocorram \(k\) eventos segue uma distribuição gama.

Exemplo passo a passo

Uma equipe de suporte técnico resolve chamados um por um. Cada chamado exige um tempo exponencialmente distribuído com média de 4 horas (\(\lambda = 1/4\)). Qual é a distribuição do tempo total para resolver 3 chamados?

\(X \sim \text{Gamma}(3,\, 1/4)\) (ou, equivalentemente, \(\text{Gamma}(k=3, \theta=4)\)).

Tempo total esperado:

\[E(X) = \frac{3}{1/4} = 12 \text{ horas}\]

Variância e desvio padrão:

\[\text{Var}(X) = \frac{3}{(1/4)^2} = 48 \text{ horas}^2, \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{48} \approx 6{,}93 \text{ horas}\]

Probabilidade de resolver os 3 chamados em menos de 10 horas:

\[F(10) = P(X \leq 10) \approx 0{,}456\]

Calculado numericamente: pgamma(10, shape = 3, rate = 1/4) em R.

Probabilidade de demorar mais de 15 horas:

\[P(X > 15) = 1 - F(15) \approx 1 - 0{,}677 = 0{,}323\]

Cerca de 32% das sessões de três chamados vão demorar mais de 15 horas.

Modelagem de precipitação

A precipitação mensal (em mm) de uma região segue uma distribuição \(\text{Gamma}(3;\, 0{,}1)\) (média \(= 30\) mm, SD \(\approx 17{,}3\) mm).

• Probabilidade de menos de 20 mm: pgamma(20, shape = 3, rate = 0.1) \(\approx 0{,}323\).
• Mediana da precipitação: qgamma(0.5, shape = 3, rate = 0.1) \(\approx 26{,}5\) mm.

A gama é usada frequentemente para precipitação porque é sempre positiva, assimétrica à direita e flexível em sua forma.