Distribuição geométrica

A distribuição geométrica modela o tempo de espera até o primeiro sucesso em uma sequência de tentativas de Bernoulli independentes. É a única distribuição discreta com a propriedade de falta de memória: falhas passadas não trazem nenhuma informação sobre resultados futuros.

Definição

Existem duas versões comuns da distribuição geométrica. Ambas descrevem o mesmo processo, mas contam coisas diferentes:

Versão 1: número de tentativas até o primeiro sucesso (\(X \geq 1\)):

Versão 2: número de falhas antes do primeiro sucesso (\(X \geq 0\)):

Ambas são chamadas de “distribuição geométrica”. A versão 2 é um caso particular da binomial negativa com \(r = 1\).

Função de massa de probabilidade e CDF

Usando a versão 1 (\(k\) = número de tentativas), a CDF tem uma forma fechada simples:

\[F(k) = P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k\]

Isso significa que a probabilidade de precisar de mais de \(k\) tentativas é simplesmente \((1-p)^k\).

Propriedades

Para \(X \sim \text{Geométrica}(p)\) usando a versão 1 (número de tentativas):

1. Valor esperado (média)

\[E(X) = \frac{1}{p}\]

Se a probabilidade de sucesso é 20%, em média são necessárias 5 tentativas para obter o primeiro sucesso.

2. Variância

\[\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\]

3. Assimetria

\[\text{Assimetria} = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\]

Sempre positiva: a distribuição tem uma cauda direita longa independentemente de \(p\).

4. Curtose

\[g_2 = 6 + \frac{p^2}{1-p}\]

5. CDF (forma fechada)

\[F(k) = 1 - (1-p)^k\]

6. Função quantil

\[Q(u) = \left\lceil \frac{\log(1-u)}{\log(1-p)} \right\rceil\]

em que \(\lceil \cdot \rceil\) é a função teto (arredondamento para cima).

A propriedade de falta de memória

A distribuição geométrica é a única distribuição discreta com a propriedade de falta de memória:

\[P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)\]

Isso significa: se você já falhou \(m\) vezes, a probabilidade de precisar de mais de \(n\) tentativas adicionais é exatamente a mesma do que se estivesse começando do zero. Falhas passadas não fornecem nenhuma informação sobre resultados futuros.

A propriedade de falta de memória na prática

Um inspetor de qualidade testa componentes um a um. Cada um tem uma taxa de defeito de 10%. O inspetor já testou 20 componentes sem encontrar nenhum defeito.

Qual é a probabilidade de precisar de mais de 5 testes adicionais?

Pela propriedade de falta de memória: \(P(X > 5) = (1 - 0{,}1)^5 = 0{,}9^5 \approx 0{,}590\).

Os 20 testes anteriores são completamente irrelevantes. A distribuição geométrica não tem memória das falhas passadas.

Exemplo passo a passo

Um data center sofre falhas de servidor que exigem uma reinicialização. Cada tentativa de reinicialização tem sucesso com probabilidade \(p = 0{,}4\). Seja \(X\) = número de tentativas até a primeira reinicialização bem-sucedida, \(X \sim \text{Geométrica}(0{,}4)\).

Probabilidade de sucesso exatamente na 3ª tentativa:

\[P(X = 3) = (1-0{,}4)^{3-1} \times 0{,}4 = 0{,}6^2 \times 0{,}4 = 0{,}36 \times 0{,}4 = 0{,}144\]

Número esperado de tentativas:

\[E(X) = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5 \text{ tentativas}\]

Probabilidade de precisar de mais de 4 tentativas:

\[P(X > 4) = (1-0{,}4)^4 = 0{,}6^4 = 0{,}1296\]

Cerca de 13% das falhas vão exigir mais de 4 tentativas de reinicialização.

Probabilidade de sucesso nas primeiras 3 tentativas:

\[F(3) = 1 - (1-0{,}4)^3 = 1 - 0{,}216 = 0{,}784\]

Quase 78% das falhas são resolvidas em até 3 tentativas.

Mais exemplos da distribuição geométrica

• Teste A/B: uma nova variante de anúncio tem uma taxa de cliques de 5%. Número esperado de impressões antes do primeiro clique: \(E(X) = 1/0{,}05 = 20\).
• Entrevistas de emprego: um candidato passa cada etapa com probabilidade 0,3. Probabilidade de passar na primeira tentativa: \(P(X=1) = 0{,}3\). Número esperado de tentativas: \(1/0{,}3 \approx 3{,}3\).
• Retransmissão em rede: um pacote de dados é entregue com sucesso com probabilidade 0,95 por tentativa. Probabilidade de precisar de mais de 2 tentativas: \((1-0{,}95)^2 = 0{,}0025\).