Distribuição hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica modela o número de sucessos ao extrair uma amostra sem reposição de uma população finita. Diferentemente da binomial, ela leva em conta que cada extração muda a composição do restante da população.
Definição
Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição hipergeométrica se conta o número de sucessos em uma amostra de tamanho \(n\) extraída sem reposição de uma população de tamanho \(N\) que contém \(K\) sucessos. Escreve-se \(X \sim \text{Hipergeométrica}(N, K, n)\):
\[P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad \max(0,\, n-(N-K)) \leq k \leq \min(K, n)\]
O numerador conta as formas de escolher \(k\) sucessos entre os \(K\) disponíveis e \(n-k\) fracassos entre os \(N-K\) disponíveis. O denominador conta todas as formas de escolher \(n\) itens entre \(N\).
⚠️ Hipergeométrica vs binomial: a distinção chave
Ambas as distribuições contam sucessos em uma amostra, mas:
- Binomial: amostragem com reposição. Cada extração é independente e \(p\) permanece constante.
- Hipergeométrica: amostragem sem reposição. Cada extração muda a população, então as extrações são dependentes e \(p\) muda após cada uma.
Use a hipergeométrica quando a amostra for uma fração significativa da população (aproximadamente \(n/N > 0{,}05\)). Quando a população é grande em relação à amostra, as duas distribuições dão resultados quase idênticos e a binomial é mais simples de usar.
Função de Massa de Probabilidade e CDF
A CDF soma a PMF até \(k\):
\[F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{\binom{K}{i}\binom{N-K}{n-i}}{\binom{N}{n}}\]
Propriedades
Para \(X \sim \text{Hipergeométrica}(N, K, n)\), seja \(p = K/N\) a proporção de sucessos na população:
- Valor Esperado (Média)
\[E(X) = n\frac{K}{N} = np\]
O número esperado de sucessos é o mesmo que na binomial com os mesmos \(n\) e \(p = K/N\).
- Variância
\[\text{Var}(X) = n\frac{K}{N}\left(1 - \frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} = np(1-p)\frac{N-n}{N-1}\]
O fator \(\frac{N-n}{N-1}\) é a correção por população finita (CPF). É sempre menor que 1, o que faz a variância hipergeométrica ser menor que a variância binomial \(np(1-p)\). Isso faz sentido intuitivamente: amostrar sem reposição reduz a incerteza porque você não pode obter o mesmo item duas vezes.
- Assimetria
\[\text{Assimetria} = \frac{(N-2K)(N-2n)\sqrt{N-1}}{(N-2)\sqrt{nK(N-K)(N-n)}}\]
- Curtose
\[g_2 = \frac{(N-1)N^2[N(N+1) - 6K(N-K) - 6n(N-n)] + 6nK(N-K)(N-n)(5N-6)}{n K(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}\]
Na prática, a curtose é calculada numericamente para valores específicos dos parâmetros.
- Moda
\[\text{Moda} = \left\lfloor \frac{(n+1)(K+1)}{N+2} \right\rfloor\]
- Função Quantílica
Não há forma fechada; é calculada numericamente.
A correção por população finita
O fator CPF \(\frac{N-n}{N-1}\) captura o efeito da população finita sobre a variância:
- Quando \(n = 1\): CPF \(\approx 1\), a variância é igual à variância binomial.
- Quando \(n = N\) (censo): CPF \(= 0\), a variância é zero. Você mediu a população inteira, então não há incerteza amostral.
- Quando \(n/N\) é pequeno (digamos, abaixo de 5%): CPF \(\approx 1\) e a hipergeométrica é bem aproximada pela binomial.
Uma empresa tem 200 funcionários, 60 dos quais são gerentes (\(K = 60\), \(N = 200\)). Uma pesquisa amostra 40 funcionários (\(n = 40\)).
Variância binomial (ignorando a população finita): \[np(1-p) = 40 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 8{,}4\]
Variância hipergeométrica (com CPF): \[8{,}4 \times \frac{200-40}{200-1} = 8{,}4 \times \frac{160}{199} \approx 6{,}75\]
A variância real é 20% menor do que a binomial sugeriria. Quando \(n/N = 40/200 = 20\%\), a correção é substancial.
Exemplo passo a passo
Um lote de fábrica contém 100 itens, 10 dos quais são defeituosos (\(N=100\), \(K=10\)). Um inspetor de qualidade extrai 20 itens sem reposição (\(n=20\)). Seja \(X\) = número de itens defeituosos encontrados.
Probabilidade de exatamente 3 itens defeituosos:
\[P(X=3) = \frac{\binom{10}{3}\binom{90}{17}}{\binom{100}{20}} \approx 0{,}141\]
Há 14,1% de chance de encontrar exatamente 3 itens defeituosos.
Número esperado de defeituosos:
\[E(X) = 20 \times \frac{10}{100} = 2\]
Variância:
\[\text{Var}(X) = 20 \times 0{,}1 \times 0{,}9 \times \frac{80}{99} \approx 1{,}455\]
Probabilidade de encontrar no máximo 3 defeituosos:
\[F(3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \approx 0{,}069 + 0{,}271 + 0{,}385 + 0{,}141 = 0{,}866\]
Cerca de 87% das amostras de tamanho 20 conterão 3 ou menos itens defeituosos.
Um baralho padrão tem 52 cartas, 4 das quais são ases (\(N=52\), \(K=4\)). Cinco cartas são distribuídas (\(n=5\)).
Probabilidade de exatamente 2 ases:
\[P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17{.}296}{2{.}598{.}960} \approx 0{,}0399\]
Número esperado de ases: \(E(X) = 5 \times 4/52 \approx 0{,}385\).
💡 Quando usar hipergeométrica vs binomial
Use a hipergeométrica quando:
- A amostragem é sem reposição de uma população finita.
- A amostra é uma fração substancial da população (\(n/N > 0{,}05\)).
Use a binomial quando:
- A amostragem é com reposição.
- A população é grande o suficiente para que \(n/N \leq 0{,}05\): nesse caso a CPF \(\approx 1\) e a binomial dá resultados quase idênticos com cálculos mais simples.
Uma diretriz prática comum: se você está amostrando menos de 5% da população, a aproximação binomial é adequada.
