Coeficiente de variação em estatística

O coeficiente de variação (CV) responde a uma pergunta que o desvio padrão não consegue: qual conjunto de dados é mais variável em relação à sua própria média? É a medida indicada quando você precisa comparar a variabilidade entre conjuntos de dados com unidades diferentes ou médias muito diferentes.

Definição

O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, expressa como porcentagem:

Um CV de 10% significa que o desvio padrão é 10% da média. Um CV de 80% indica que os dados estão muito dispersos em relação ao seu centro.

A propriedade-chave que torna o CV útil: ele é adimensional. Não tem unidades, então você pode comparar diretamente a variabilidade de salários em dólares com alturas em centímetros, ou preços de ações com rendimentos de títulos.

Figure 1: CV mais alto significa mais dispersão em relação à média: as três distribuições têm a mesma média, mas variabilidade relativa diferente

Propriedades

• Adimensional: o CV não tem unidades, o que é exatamente o que o torna útil para comparações entre variáveis diferentes.
• Sempre positivo: como o desvio padrão não é negativo e dividimos pela média, o CV é positivo quando a média é positiva.
• Invariante à escala: multiplicar todos os valores por uma constante não muda o CV. Dobrar todos os salários dobra tanto a média quanto o desvio padrão, então a razão permanece igual.
• Sensível à média: se a média é próxima de zero, o CV dispara e perde interpretabilidade. Se a média é negativa, o CV não tem sentido.

Exemplos

Exemplo 1: comparando dois ativos de investimento

Um gestor de carteira quer saber qual de dois ativos é mais arriscado em relação ao seu retorno:

• Ativo A (ação de tecnologia): retorno médio mensal = 8%, desvio padrão = 4%
• Ativo B (título público): retorno médio mensal = 2%, desvio padrão = 1,5%

Comparar apenas os desvios padrão (4% contra 1,5%) sugere que o Ativo A é mais volátil. Mas ele é mais volátil em relação ao que rende?

\[CV_A = \frac{4}{8} \times 100\% = 50\%\]

\[CV_B = \frac{1{,}5}{2} \times 100\% = 75\%\]

O título público tem um CV maior: é mais volátil em relação ao seu próprio retorno médio. Para cada unidade de retorno, ele carrega mais risco relativo do que a ação de tecnologia. O desvio padrão isolado teria dado a impressão contrária.

Exemplo 2: comparando variáveis com unidades diferentes

Um hospital quer comparar a variabilidade de duas medições de pacientes coletadas no mesmo estudo:

• Altura: média = 170 cm, desvio padrão = 8 cm
• Peso: média = 72 kg, desvio padrão = 12 kg

Você não pode comparar 8 cm com 12 kg diretamente. O CV os torna comparáveis:

\[CV_{\text{altura}} = \frac{8}{170} \times 100\% \approx 4{,}7\%\]

\[CV_{\text{peso}} = \frac{12}{72} \times 100\% \approx 16{,}7\%\]

O peso é consideravelmente mais variável em relação à sua média do que a altura. Isso indica ao hospital que as medições de peso mostrarão mais diferenças entre pacientes em termos relativos.

Figure 2: O CV permite comparar diretamente a variabilidade entre variáveis com unidades diferentes

Exemplo 3: controle de qualidade na produção

Uma fábrica produz dois tipos de parafusos e quer saber qual linha de produção tem resultados mais consistentes:

• Linha 1: diâmetro médio = 5 mm, desvio padrão = 0,1 mm → \(CV = 2\%\)
• Linha 2: diâmetro médio = 20 mm, desvio padrão = 0,3 mm → \(CV = 1{,}5\%\)

Mesmo que a Linha 2 tenha um desvio padrão absoluto maior (0,3 mm contra 0,1 mm), sua produção é na verdade mais consistente em relação ao tamanho-alvo. A Linha 1 é a que tem a variabilidade relativa mais alta.