Como calcular a mediana em estatística
A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenado exatamente pela metade. É mais robusta do que a média quando os dados contêm outliers ou têm uma distribuição fortemente assimétrica, o que a torna a medida preferida em áreas como o mercado imobiliário, a análise de renda e a medicina.
Definição
A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenado: metade das observações está abaixo dela e a outra metade está acima. É representada como \(Me\).
A fórmula depende de o tamanho amostral \(n\) ser ímpar ou par:
\[ Me(x) = \begin{cases} x_{(n+1)/2} &\text{se n é ímpar} \\\ \\\ \frac{x_{(n/2)} + x_{((n/2) + 1)}}{2} &\text{se n é par,} \end{cases} \]
sendo \(x\) um vetor de valores ordenados do menor ao maior, de tamanho \(n\).
O passo-chave que muitos estudantes deixam passar: é preciso ordenar os dados primeiro. A mediana é sempre uma medida posicional: depende de onde um valor está na sequência ordenada, não da sua magnitude.
⚠️ Ordene antes de calcular
Um erro muito comum é pegar o elemento central dos dados sem ordenar. Por exemplo, em (x = (83, 133, 104, 52, 57)) o elemento central é 104, mas a mediana da sequência ordenada ((52, 57, 83, 104, 133)) é 83. Sempre ordene primeiro.
Propriedades
- Transformação linear: se \(Y = aX + b\), então \(Me(Y) = a \cdot Me(X) + b\).
- Robustez: a mediana não é afetada por outliers. Adicionar um valor extremo não muda sua posição na sequência ordenada.
- Tipos de variável: a mediana se aplica a variáveis quantitativas e a variáveis qualitativas ordinais (onde existe uma ordem natural).
- Divide a distribuição em 50%: por definição, a mediana é o percentil 50, também escrito \(Q_2\).
Exemplos
Tamanho amostral ímpar
Considere os seguintes dados: \[x = (83, 133, 104, 52, 57, 53, 126, 115, 105, 100, 67).\]
O tamanho amostral é \(n = 11\) (ímpar), então a mediana é o valor na posição \((11+1)/2 = 6\) da sequência ordenada.
Figure 1: Dados ordenados: a mediana (quadro vermelho) deixa 5 valores de cada lado
A mediana é \(Me(x) = 100\).
Tamanho amostral par
Agora removemos o valor 100 do conjunto anterior: \[x = (83, 133, 104, 52, 57, 53, 126, 115, 105, 67).\]
O tamanho amostral agora é \(n = 10\) (par), então a mediana é a média dos valores nas posições \(n/2 = 5\) e \(n/2 + 1 = 6\) da sequência ordenada.
Figure 2: Tamanho amostral par: a mediana é a média dos dois valores centrais (quadro vermelho)
A mediana é \(Me(x) = \frac{83 + 104}{2} = 93{,}5\).
Média vs. mediana: quando usar cada uma
A média e a mediana medem ambas o centro de uma distribuição, mas se comportam de forma muito diferente quando os dados são assimétricos ou contêm outliers.
Figure 3: Distribuição assimétrica: a média é deslocada em direção à cauda, a mediana permanece próxima da maior parte dos dados
- Salários: alguns poucos executivos com salários muito altos arrastam a média bem acima do que a maioria dos funcionários ganha. O salário mediano é a descrição mais honesta do que ganha um trabalhador típico.
- Preços de imóveis: algumas poucas propriedades de luxo distorcem a média. Os relatórios do mercado imobiliário sempre citam o preço mediano.
- Tempos de resposta: um pequeno número de requisições muito lentas (timeouts, erros) inflam a média. A mediana dá uma imagem mais fiel do desempenho típico.
⚠️ A mediana ignora a magnitude dos valores
A mediana só leva em conta a ordem, não a distância entre os valores. No conjunto ((1, 2, 3, 4, 100)) e em ((1, 2, 3, 4, 5)), a mediana é 3 em ambos os casos. Se o tamanho real dos valores importa para a sua análise, a média capta essa informação e a mediana não.
💡 Uma regra prática rápida
