Arranjos
Os arranjos contam o número de seleções ordenadas de \(r\) itens de um conjunto de \(n\), em que a ordem importa e os itens podem ou não ser reutilizados. Eles são o quadro geral que conecta permutações, combinações e suas variantes com repetição.
Definição e relação com outros conceitos
Um arranjo de \(r\) elementos de um conjunto de \(n\) é uma seleção ordenada de \(r\) posições distintas preenchidas a partir de \(n\) itens disponíveis. A distinção-chave em relação a outros métodos de contagem:
| Método | A ordem importa | Repetição | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Combinações | Não | Não | \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) |
| Arranjos sem repetição | Sim | Não | \(A(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) |
| Arranjos com repetição | Sim | Sim | \(AR(n,r) = n^r\) |
| Permutações | Sim | Não | \(P(n) = n!\) (caso especial: \(r=n\)) |
As permutações são simplesmente o caso especial dos arranjos sem repetição quando todos os \(n\) itens são selecionados (\(r = n\)).
O gráfico deixa a hierarquia clara: as combinações dão a menor contagem (a ordem é ignorada), os arranjos sem repetição são maiores (a ordem conta) e os arranjos com repetição são os maiores (a ordem conta e a reutilização é permitida).
Arranjos sem repetição
Quando cada item só pode ser usado uma vez, o número de seleções ordenadas de \(r\) a partir de \(n\) é:
\[A(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\]
Essa fórmula é idêntica à das permutações \(P(n,r)\). A diferença é conceitual: “arranjo” enfatiza que estamos selecionando um subconjunto e ordenando-o, enquanto “permutação” às vezes é reservado para a ordenação completa de todos os elementos.
12 nadadores competem. Quantos pódios distintos (ouro, prata, bronze) são possíveis?
\[A(12, 3) = \frac{12!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1.320\]
Os mesmos 3 nadadores no pódio em ordem diferente contam como resultados diferentes: {Ana 1º, Beth 2º, Cara 3º} é diferente de {Beth 1º, Ana 2º, Cara 3º}.
Um cluster tem 10 servidores e 4 tarefas precisam ser atribuídas a servidores diferentes, cada tarefa a um servidor específico (a ordem da atribuição importa para a configuração do balanceamento de carga).
\[A(10, 4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040\]
Se as tarefas fossem intercambiáveis (qualquer servidor executa qualquer tarefa igualmente), usaríamos \(\binom{10}{4} = 210\) em vez disso.
Arranjos com repetição
Quando os itens podem ser reutilizados entre posições, a contagem cresce como uma potência:
\[AR(n, r) = n^r\]
Cada uma das \(r\) posições é preenchida de forma independente a partir de todos os \(n\) itens, dando \(n\) opções por posição.
Um PIN de 4 dígitos com os dígitos de 0 a 9, com repetição permitida:
\[AR(10, 4) = 10^4 = 10.000\]
Um código de 6 caracteres com 26 letras maiúsculas, com repetição permitida:
\[AR(26, 6) = 26^6 = 308.915.776\]
Sem repetição: \(A(26, 6) = 165.765.600\). A restrição de não repetição reduz o espaço em 46%.
O DNA usa um alfabeto de 4 bases (A, T, C, G). Quantas sequências distintas de comprimento 10 são possíveis?
\[AR(4, 10) = 4^{10} = 1.048.576 \approx 10^6\]
Para o genoma humano, estão envolvidas sequências de comprimento 3 bilhões: \(4^{3 \times 10^9}\), um número astronomicamente grande que explica a unicidade dos genomas individuais.
Como escolher a fórmula correta
Três perguntas determinam qual fórmula se aplica:
- A ordem importa? Se não: combinações. Se sim: continue.
- Os itens podem ser reutilizados? Se não: \(A(n,r) = n!/(n-r)!\). Se sim: \(AR(n,r) = n^r\).
- Todos os itens são selecionados? Se sim e sem repetição: \(P(n) = n!\) (permutações).
Uma empresa tem 10 funcionários e precisa:
- Formar uma equipe de projeto de 4 pessoas (sem funções, sem reutilização): \(\binom{10}{4} = 210\) combinações.
- Atribuir 4 funções distintas (CEO, CTO, CFO, COO) entre os 10 (as funções diferem, sem reutilização): \(A(10,4) = 5.040\) arranjos sem repetição.
- Gerar um código de acesso de 4 dígitos a partir de 10 dígitos (repetição permitida, a ordem importa): \(AR(10,4) = 10.000\) arranjos com repetição.
- Ordenar os 10 funcionários em uma ordem de apresentação: \(P(10) = 10! = 3.628.800\) permutações.
💡 Os arranjos como quadro unificador
Os arranjos oferecem o quadro de contagem mais geral para seleções ordenadas:
- Combinações = arranjos sem repetição ÷ \(r!\) (eliminando as ordenações).
- Permutações = arranjos sem repetição com \(r = n\).
- Arranjos com repetição = o caso mais geral.
Em caso de dúvida, comece perguntando se a ordem importa e se a repetição é permitida. Essas duas respostas apontam diretamente para a fórmula correta.
