Experimentos aleatórios e eventos
Todo cálculo de probabilidade começa com um experimento aleatório claramente definido e um espaço amostral bem especificado. Acertar nisso é a base de tudo o mais na teoria da probabilidade.
Experimento aleatório
Um experimento aleatório é um processo que produz um resultado que não pode ser previsto com certeza, mas cujo conjunto de resultados possíveis é totalmente conhecido de antemão. Três condições o definem:
- O experimento pode ser repetido nas mesmas condições.
- Todos os resultados possíveis são conhecidos antes da realização do experimento.
- O resultado real de qualquer tentativa individual é imprevisível.
- Um inspetor de qualidade seleciona uma unidade de um lote de produção e a classifica como defeituosa ou não defeituosa. O resultado é incerto, mas os dois resultados possíveis são conhecidos.
- Um ensaio clínico recruta um paciente e registra se ele responde a um tratamento. Resposta ou não resposta são os dois resultados possíveis.
- Um meteorologista registra a temperatura máxima diária. O valor exato é desconhecido de antemão, mas pertence a uma faixa bem definida.
- Um engenheiro de redes monitora se um servidor está ativo ou inativo em um determinado momento.
⚠️ Nem todo processo incerto é um experimento aleatório
Um experimento aleatório exige que o conjunto de resultados possíveis esteja bem definido de antemão. “O que o mercado de ações vai fazer no próximo ano?” é incerto, mas se o conjunto de resultados não está claramente especificado (o que conta como “subir”? quanto?), isso não se qualifica como um experimento aleatório propriamente definido no sentido probabilístico. Experimentos vagos levam a probabilidades vagas.
Espaço amostral
O espaço amostral \(\Omega\) (às vezes escrito \(S\)) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Defini-lo corretamente é o primeiro e mais importante passo em qualquer problema de probabilidade.
Os espaços amostrais podem ser:
- Finitos: um conjunto contável de resultados distintos. \(\Omega = \{0, 1\}\) para uma tentativa binária.
- Infinitos contáveis: os resultados são contáveis, mas ilimitados. \(\Omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) para o número de clientes que chegam em um dia.
- Contínuos: os resultados formam um intervalo. \(\Omega = [0, \infty)\) para um tempo de espera em minutos.
Ensaio clínico: um medicamento é testado em um paciente e o número de dias até a recuperação é registrado.
\[\Omega = \{1, 2, 3, \ldots\} \cup \{\text{sem recuperação}\}\]
Controle de qualidade: um lote de 5 itens é inspecionado e o número de defeituosos é contado.
\[\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\]
Tempo de resposta do servidor: o tempo em milissegundos até um servidor responder a uma requisição.
\[\Omega = (0, \infty)\]
Resposta de pesquisa: um respondente avalia sua satisfação em uma escala de 5 pontos.
\[\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5\}\]
💡 Defina o espaço amostral antes de calcular qualquer probabilidade
Muitos erros de probabilidade vêm de um espaço amostral definido incorretamente. Antes de escrever uma única probabilidade, pergunte-se: quais são todos os resultados possíveis? Eles são mutuamente exclusivos (nenhum pode acontecer simultaneamente)? Eles são exaustivos (cobrem todas as possibilidades)? Um bom espaço amostral é tanto mutuamente exclusivo quanto exaustivo.
Eventos
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um evento ocorre se o resultado do experimento pertence a esse subconjunto.
- Um evento simples (ou evento elementar) contém exatamente um resultado.
- Um evento composto contém dois ou mais resultados.
Experimento de controle de qualidade: \(\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) defeituosos em um lote de 5.
- Evento simples: exatamente 2 defeituosos. \(A = \{2\}\).
- Evento composto: menos de 3 defeituosos. \(B = \{0, 1, 2\}\).
- Evento composto: pelo menos 1 defeituoso. \(C = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
A probabilidade do evento \(B\) usando probabilidade clássica (se todas as contagens fossem igualmente prováveis):
\[P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = 0{,}5\]
Na prática, as contagens não são igualmente prováveis (seguem uma distribuição binomial), mas a estrutura do evento é a mesma.
Tipos de eventos
Eventos certo e impossível
- O evento certo é o próprio \(\Omega\): ele sempre ocorre porque o resultado está sempre no espaço amostral. \(P(\Omega) = 1\).
- O evento impossível é \(\emptyset\): nunca ocorre. \(P(\emptyset) = 0\).
⚠️ P(A) = 0 não significa que A seja impossível
Em um espaço amostral contínuo, cada resultado individual tem probabilidade zero. Se \(X\) é o tempo de resposta exato de um servidor em milissegundos, \(P(X = 142{,}37) = 0\) mesmo que 142,37 ms seja um tempo de resposta perfeitamente possível. O evento \(\{142{,}37\}\) não é impossível, ele só tem probabilidade zero porque, em espaços contínuos, as probabilidades são definidas sobre intervalos, não sobre pontos.
Essa é uma diferença fundamental entre probabilidade discreta e contínua.
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) se não podem ocorrer os dois na mesma tentativa: \(A \cap B = \emptyset\).
Um paciente é classificado como: sem resposta, resposta parcial ou resposta completa. Esses três eventos são mutuamente exclusivos: um paciente não pode estar em duas categorias simultaneamente.
\[P(\text{sem resposta} \cup \text{resposta parcial}) = P(\text{sem resposta}) + P(\text{resposta parcial})\]
A adição se simplifica porque não há sobreposição.
Eventos independentes
Dois eventos \(A\) e \(B\) são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Uma fábrica tem duas máquinas em linhas separadas. A máquina A produz um item defeituoso com probabilidade 0,02. A máquina B produz um item defeituoso com probabilidade 0,03. O fato de a máquina A produzir um defeito não afeta a máquina B.
\[P(\text{ambas defeituosas}) = 0{,}02 \times 0{,}03 = 0{,}0006\]
\[P(\text{pelo menos uma defeituosa}) = 1 - P(\text{nenhuma}) = 1 - 0{,}98 \times 0{,}97 = 1 - 0{,}9506 = 0{,}0494\]
Eventos complementares
O complementar do evento \(A\), escrito \(\bar{A}\) ou \(A^c\), é o evento de que \(A\) não ocorra. Ele é formado por todos os resultados de \(\Omega\) que não estão em \(A\):
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]
Eventos exaustivos
Um conjunto de eventos é exaustivo se sua união cobre todo o espaço amostral: pelo menos um deles deve ocorrer em cada tentativa.
Uma pesquisa com clientes classifica os respondentes como: Detrator, Passivo ou Promotor (categorias NPS). Essas três categorias são:
- Mutuamente exclusivas: cada respondente pertence a exatamente uma categoria.
- Exaustivas: todo respondente se encaixa em uma das três.
Juntas, elas formam uma partição do espaço amostral. As probabilidades devem somar 1:
\[P(\text{Detrator}) + P(\text{Passivo}) + P(\text{Promotor}) = 1\]
Probabilidade de eventos
Para um espaço amostral finito com resultados igualmente prováveis:
\[P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}\]
em que \(|E|\) é o número de resultados em \(E\) e \(|\Omega|\) é o número total de resultados.
Para resultados não igualmente prováveis, a probabilidade de um evento composto é a soma das probabilidades de seus eventos elementares:
\[P(E) = \sum_{\omega \in E} P(\{\omega\})\]
Um filtro de spam classifica e-mails recebidos. Com base em dados históricos:
| Resultado | Probabilidade |
|---|---|
| Spam, identificado corretamente | 0,25 |
| Spam, não detectado (falso negativo) | 0,05 |
| Legítimo, identificado corretamente | 0,65 |
| Legítimo, bloqueado (falso positivo) | 0,05 |
Evento \(A\) = “o e-mail é spam”: \(A = \{\text{spam identificado corretamente},\, \text{spam não detectado}\}\)
\[P(A) = 0{,}25 + 0{,}05 = 0{,}30\]
Evento \(B\) = “o filtro comete um erro”: \(B = \{\text{spam não detectado},\, \text{falso positivo}\}\)
\[P(B) = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}10\]
