Lei da probabilidade total
A lei da probabilidade total expressa a probabilidade de um evento como uma média ponderada de suas probabilidades condicionais em todos os cenários possíveis. É a ferramenta que transforma uma probabilidade complexa e difícil de calcular em uma soma de probabilidades condicionais mais simples.
Definição
Sejam \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) uma partição do espaço amostral \(\Omega\): os eventos são mutuamente exclusivos (\(A_i \cap A_j = \emptyset\) para \(i \neq j\)) e exaustivos (\(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega\)). Para qualquer evento \(B\):
\[P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)\]
A intuição: \(B\) só pode ocorrer por meio de um dos cenários \(A_i\). A probabilidade total de \(B\) é a soma das probabilidades de \(B\) ocorrer em cada cenário, ponderada pela probabilidade de cada cenário.
O diagrama mostra \(B\) cruzando as três células da partição. A probabilidade total de \(B\) é a soma das três sobreposições sombreadas, cada uma ponderada pela probabilidade de sua célula da partição.
⚠️ A partição precisa ser exaustiva e mutuamente exclusiva
A lei só funciona quando \(A_1, \ldots, A_n\) realmente cobrem todos os resultados possíveis e não se sobrepõem. Dois erros comuns:
- Esquecer um cenário: se uma fábrica tem três fornecedores, mas você condiciona apenas em dois, a fórmula dá a resposta errada.
- Categorias sobrepostas: se um paciente pode pertencer a duas categorias de doença simultaneamente, os \(A_i\) não são mutuamente exclusivos e a fórmula conta em excesso.
Verifique sempre: os \(A_i\) somam 1? \(\sum_i P(A_i) = 1\) é uma verificação necessária.
Caso de dois cenários
A partição mais simples é \(\{A, A^c\}\). A lei se reduz a:
\[P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid A^c) \cdot P(A^c)\]
Essa é a forma mais vista em testes médicos e problemas de classificação.
Uma doença afeta 2% da população (\(P(D) = 0{,}02\)). Um teste tem:
- Sensibilidade: \(P(+ \mid D) = 0{,}95\).
- Especificidade: \(P(- \mid D^c) = 0{,}90\), então \(P(+ \mid D^c) = 0{,}10\).
Que fração da população testa positivo?
\[P(+) = P(+ \mid D) \cdot P(D) + P(+ \mid D^c) \cdot P(D^c)\] \[= 0{,}95 \times 0{,}02 + 0{,}10 \times 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117\]
Cerca de 11,7% da população testa positivo, mesmo que apenas 2% realmente tenha a doença. Esse é o denominador necessário para aplicar o teorema de Bayes e encontrar \(P(D \mid +)\).
Três ou mais cenários
A lei se estende diretamente a qualquer número de cenários que particionem o espaço, apenas somando mais um termo à soma para cada um.
Uma empresa obtém componentes de três fornecedores:
- O fornecedor A fornece 50% dos componentes, com taxa de defeito de 3%.
- O fornecedor B fornece 30%, com taxa de defeito de 5%.
- O fornecedor C fornece 20%, com taxa de defeito de 8%.
Qual é a taxa de defeitos geral?
\[P(\text{defeito}) = 0{,}03 \times 0{,}50 + 0{,}05 \times 0{,}30 + 0{,}08 \times 0{,}20\] \[= 0{,}015 + 0{,}015 + 0{,}016 = 0{,}046\]
A taxa de defeitos geral é 4,6%. Observe que o fornecedor C contribui com 0,016 para o total, mesmo fornecendo apenas 20% dos componentes, porque sua taxa de defeito é muito mais alta.
Um serviço de assinatura tem três segmentos de clientes:
- Usuários premium (25% da base): taxa de churn mensal de 5%.
- Usuários padrão (50% da base): taxa de churn mensal de 15%.
- Usuários gratuitos (25% da base): taxa de churn mensal de 40%.
Taxa de churn mensal geral:
\[P(\text{churn}) = 0{,}05 \times 0{,}25 + 0{,}15 \times 0{,}50 + 0{,}40 \times 0{,}25\] \[= 0{,}0125 + 0{,}075 + 0{,}10 = 0{,}1875\]
18,75% de todos os usuários cancelam a cada mês. O plano gratuito, por si só, representa \(0{,}10/0{,}1875 \approx 53\%\) de todos os usuários que cancelam, embora seja apenas 25% da base.
Conexão com o teorema de Bayes
A lei da probabilidade total é o denominador no teorema de Bayes. Combinando os dois:
\[P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)}\]
A lei da probabilidade total calcula \(P(B)\) para que o teorema de Bayes possa atualizar as probabilidades de cada cenário \(A_i\) depois de observar \(B\).
Usando o exemplo dos fornecedores acima, um componente defeituoso é encontrado. Qual é a probabilidade de que ele tenha vindo do fornecedor C?
\[P(C \mid \text{defeito}) = \frac{P(\text{defeito} \mid C) \cdot P(C)}{P(\text{defeito})} = \frac{0{,}08 \times 0{,}20}{0{,}046} = \frac{0{,}016}{0{,}046} \approx 0{,}348\]
Mesmo que C forneça apenas 20% dos componentes, ele é responsável por cerca de 35% dos defeitos. A lei da probabilidade total (0,046) é o ingrediente-chave que torna esse cálculo possível.
💡 Quando usar a lei da probabilidade total
Use-a quando:
- \(P(B)\) é difícil de calcular diretamente, mas \(P(B \mid A_i)\) é conhecido para cada cenário.
- Você tem uma mistura de subpopulações com taxas diferentes (taxas de defeito por fornecedor, churn por segmento, sensibilidade do teste por status da doença).
- Você precisa do denominador para o teorema de Bayes.
A lei é essencialmente uma média ponderada: a probabilidade geral de \(B\) é a média das probabilidades condicionais, ponderada pela probabilidade de cada condição.
