Teste de hipóteses para uma média
O teste de uma amostra para uma média avalia se a média populacional é igual a um valor hipotético específico. O teste \(t\) é a ferramenta padrão sempre que \(\sigma\) é desconhecido, o que é quase sempre o caso na prática.
Hipóteses
A hipótese nula especifica um valor \(\mu_0\) para a média populacional. A alternativa depende da pergunta de pesquisa:
| Teste | \(H_0\) | \(H_1\) |
|---|---|---|
| Bilateral | \(\mu = \mu_0\) | \(\mu \neq \mu_0\) |
| Unilateral à direita | \(\mu = \mu_0\) | \(\mu > \mu_0\) |
| Unilateral à esquerda | \(\mu = \mu_0\) | \(\mu < \mu_0\) |
Use um teste bilateral por padrão. Use o unilateral apenas quando a pergunta de pesquisa for direcional e essa direção tiver sido especificada antes de ver os dados.
Estatística do teste
Dada uma amostra de tamanho \(n\) com média \(\bar{x}\) e desvio padrão \(S\):
\[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}\]
Sob \(H_0\), essa estatística segue uma distribuição \(t\) com \(n - 1\) graus de liberdade. O valor-p é calculado a partir dessa distribuição.
Quando \(\sigma\) é conhecido (raro na prática), substitua \(S\) por \(\sigma\) e use a normal padrão \(Z\) em vez de \(t\).
⚠️ Use sempre t quando σ é desconhecido, independentemente do tamanho da amostra
Uma regra comum, mas incorreta, diz: “use \(z\) para amostras grandes (\(n > 30\)), use \(t\) para amostras pequenas.” Isso está errado. A regra correta: use \(t\) sempre que \(\sigma\) for estimado a partir dos dados, independentemente de \(n\).
Para \(n\) grande, \(t\) e \(z\) dão resultados praticamente idênticos, então não há custo em sempre usar \(t\). Para \(n\) pequeno, usar \(z\) subestima a incerteza e produz testes anticonservadores.
Suposições
O teste \(t\) de uma amostra exige:
- As observações são independentes.
- A população é normal, ou \(n\) é grande o suficiente para que o TCL se aplique (geralmente \(n \geq 30\) como regra prática).
Para amostras pequenas de populações claramente não normais, considere o teste de Wilcoxon de postos sinalizados como alternativa não paramétrica.
Exemplos
Exemplo 1: vida útil de um produto (unilateral à esquerda)
Um fabricante afirma que seu componente dura, em média, \(\mu_0 = 10\) anos. Uma equipe de qualidade amostra 25 unidades e encontra \(\bar{x} = 9{,}5\) anos, \(S = 1{,}0\) ano. Há evidência de que a verdadeira média é inferior a 10 anos?
Hipóteses: \(H_0: \mu = 10\) vs. \(H_1: \mu < 10\).
Estatística do teste:
\[t = \frac{9{,}5 - 10}{1{,}0/\sqrt{25}} = \frac{-0{,}5}{0{,}2} = -2{,}500\]
Valor-p (unilateral à esquerda, \(gl = 24\)):
\[p = P(T_{24} \leq -2{,}500) \approx 0{,}010\]
Decisão: \(p = 0{,}010 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\).
Conclusão: há evidência significativa no nível de 5% de que a verdadeira vida útil média é inferior a 10 anos. A afirmação do fabricante parece estar exagerada.
Exemplo 2: tempo de resposta do servidor (bilateral)
Uma equipe de DevOps monitora o tempo de resposta de uma API. O SLA exige \(\mu_0 = 200\) ms. Após uma implantação, eles amostram 40 requisições: \(\bar{x} = 213\) ms, \(S = 38\) ms. O tempo médio de resposta mudou?
Hipóteses: \(H_0: \mu = 200\) vs. \(H_1: \mu \neq 200\).
Estatística do teste:
\[t = \frac{213 - 200}{38/\sqrt{40}} = \frac{13}{6{,}011} \approx 2{,}163\]
Valor-p (bilateral, \(gl = 39\)):
\[p = 2 \times P(T_{39} \geq 2{,}163) \approx 2 \times 0{,}018 = 0{,}036\]
Decisão: \(p = 0{,}036 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\).
Conclusão: há evidência significativa de que a implantação mudou o tempo médio de resposta. O aumento observado de 13 ms é estatisticamente significativo. A equipe deve investigar se essa degradação é aceitável na prática.
Executando o teste em R
Ambos os exemplos podem ser reproduzidos com t.test():
# Example 1: one-sided left
t.test(x, mu = 10, alternative = "less")
# Example 2: two-sided
t.test(x, mu = 200, alternative = "two.sided")A saída inclui a estatística do teste, os graus de liberdade, o valor-p, e um intervalo de confiança de 95% para \(\mu\).
💡 Interpretando o resultado
Um resultado significativo (\(p \leq \alpha\)) significa que os dados são inconsistentes com \(H_0: \mu = \mu_0\). Ele não indica o quanto \(\mu\) difere de \(\mu_0\). Sempre reporte o intervalo de confiança junto com o resultado do teste: o IC mostra tanto a direção quanto a magnitude do desvio em relação a \(\mu_0\), que é o que importa para decisões práticas.
