Teste de hipóteses para uma proporção

O teste z de uma amostra para uma proporção avalia se a proporção de uma população é igual a um valor hipotético específico. Ele se baseia na aproximação normal à binomial, o que exige verificar que a amostra é grande o suficiente antes de aplicar o teste.

Hipóteses

Estatística do teste

Dados \(x\) sucessos em \(n\) tentativas, \(\hat{p} = x/n\). A estatística do teste é:

Sob \(H_0\), \(Z\) segue uma distribuição normal padrão. Observe que o denominador usa \(p_0\), não \(\hat{p}\): calculamos o erro padrão sob a hipótese nula, não sob a proporção observada.

A aproximação normal é válida quando ambas as condições se cumprem:

\[n p_0 \geq 10 \quad \text{e} \quad n(1-p_0) \geq 10\]

Exemplos

Exemplo 1: taxa de defeitos na fabricação (bilateral)

Uma linha de produção tem uma taxa histórica de defeitos de \(p_0 = 0{,}08\). Após uma mudança no processo, um engenheiro de qualidade inspeciona 200 unidades e encontra 22 defeituosas (\(\hat{p} = 0{,}110\)). A taxa de defeitos mudou?

Verificação das condições: \(np_0 = 200 \times 0{,}08 = 16 \geq 10\) e \(n(1-p_0) = 184 \geq 10\). A aproximação normal é válida.

Hipóteses: \(H_0: p = 0{,}08\) vs. \(H_1: p \neq 0{,}08\).

Estatística do teste:

\[Z = \frac{0{,}110 - 0{,}08}{\sqrt{0{,}08 \times 0{,}92 / 200}} = \frac{0{,}030}{\sqrt{0{,}000368}} = \frac{0{,}030}{0{,}01918} \approx 1{,}564\]

Valor-p (bilateral):

\[p = 2 \times P(Z \geq 1{,}564) = 2 \times 0{,}059 = 0{,}118\]

Decisão: \(p = 0{,}118 > 0{,}05\), não rejeitamos \(H_0\).

O aumento observado de 8% para 11% de defeitos não é estatisticamente significativo no nível de 5%. Porém, o tamanho de amostra pode ser insuficiente para detectar uma mudança dessa magnitude de forma confiável. Uma análise de poder seria recomendável antes de concluir que não houve mudança.

Exemplo 2: melhoria da taxa de conversão (unilateral à direita)

A taxa de conversão atual no checkout de uma plataforma de e-commerce é \(p_0 = 0{,}32\). Após um redesign, 148 de 400 usuários concluem uma compra (\(\hat{p} = 0{,}370\)). Há evidência de que o redesign melhorou a taxa de conversão?

Verificação das condições: \(np_0 = 400 \times 0{,}32 = 128 \geq 10\) e \(n(1-p_0) = 272 \geq 10\). A aproximação normal é válida.

Hipóteses: \(H_0: p = 0{,}32\) vs. \(H_1: p > 0{,}32\).

Estatística do teste:

\[Z = \frac{0{,}370 - 0{,}32}{\sqrt{0{,}32 \times 0{,}68 / 400}} = \frac{0{,}050}{\sqrt{0{,}000544}} = \frac{0{,}050}{0{,}02333} \approx 2{,}144\]

Valor-p (unilateral à direita):

\[p = P(Z \geq 2{,}144) \approx 0{,}016\]

Decisão: \(p = 0{,}016 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\).

Há evidência significativa no nível de 5% de que o redesign melhorou a taxa de conversão. A taxa aumentou aproximadamente 5 pontos percentuais, uma melhoria relativa de cerca de 16%.

Executando o teste em R

Os dois exemplos acima, mais a alternativa binomial exata para amostras pequenas, calculados diretamente:

# Example 1: two-sided
prop.test(x = 22, n = 200, p = 0.08, alternative = "two.sided", correct = FALSE)

# Example 2: one-sided right
prop.test(x = 148, n = 400, p = 0.32, alternative = "greater", correct = FALSE)

# Exact binomial test (for small samples)
binom.test(x = 22, n = 200, p = 0.08, alternative = "two.sided")

prop.test() usa a aproximação qui-quadrado (equivalente ao teste z). correct = FALSE desativa a correção de continuidade de Yates, que raramente é necessária com amostras grandes.