Teste de hipóteses para a variância

O teste qui-quadrado para a variância avalia se uma variância populacional é igual a um valor especificado. É a ferramenta padrão para testar a variância de uma amostra, mas é altamente sensível a desvios de normalidade: mais do que quase qualquer outro teste comum.

Hipóteses

Estatística do teste

Dada uma amostra de tamanho \(n\) com variância amostral \(S^2\), a estatística do teste é:

Sob \(H_0\) e a suposição de normalidade, essa estatística segue uma distribuição \(\chi^2\) com \(n - 1\) graus de liberdade. O valor-p é calculado a partir dessa distribuição.

Exemplos

Exemplo 1: consistência do peso em embalagens (bilateral)

Um fabricante de alimentos especifica que a variância do peso das embalagens não deve exceder \(\sigma_0^2 = 4\) g². Um inspetor de qualidade amostra 25 embalagens e encontra \(S^2 = 6{,}2\) g². Há evidência de que a variância mudou?

Hipóteses: \(H_0: \sigma^2 = 4\) vs. \(H_1: \sigma^2 \neq 4\).

Estatística do teste:

\[\chi^2 = \frac{24 \times 6{,}2}{4} = \frac{148{,}8}{4} = 37{,}2\]

Valor-p (bilateral, \(gl = 24\)):

\[p = 2 \times \min\!\left(P(\chi^2_{24} \leq 37{,}2),\; P(\chi^2_{24} \geq 37{,}2)\right) = 2 \times P(\chi^2_{24} \geq 37{,}2) \approx 2 \times 0{,}036 = 0{,}072\]

Decisão: \(p = 0{,}072 > 0{,}05\), não rejeitamos \(H_0\).

Os dados não fornecem evidência significativa no nível de 5% de que a variância difira de 4 g². Porém, o resultado está no limite: \(S^2 = 6{,}2\) g² é 55% superior à meta, o que pode ser preocupante na prática mesmo sem significância estatística.

Exemplo 2: precisão de um instrumento de medição (unilateral à direita)

Um laboratório afirma que sua balança tem uma variância de no máximo \(\sigma_0^2 = 0{,}01\) mg². Um metrologista faz 20 medições e encontra \(S^2 = 0{,}018\) mg². Há evidência de que a variância excede a especificação?

Hipóteses: \(H_0: \sigma^2 = 0{,}01\) vs. \(H_1: \sigma^2 > 0{,}01\).

Estatística do teste:

\[\chi^2 = \frac{19 \times 0{,}018}{0{,}01} = \frac{0{,}342}{0{,}01} = 34{,}2\]

Valor-p (unilateral à direita, \(gl = 19\)):

\[p = P(\chi^2_{19} \geq 34{,}2) \approx 0{,}017\]

Decisão: \(p = 0{,}017 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\).

Há evidência significativa de que a variância da balança excede a especificação. O instrumento deve ser recalibrado ou substituído.

Executando o teste em R

Não existe uma função var.test() integrada no R para a variância de uma amostra (essa função compara duas variâncias). Use:

# Manual chi-squared test for variance
n    <- 25
s2   <- 6.2
sig0 <- 4
chi2_stat <- (n - 1) * s2 / sig0
df   <- n - 1

# Two-sided p-value
p_val <- 2 * min(pchisq(chi2_stat, df), pchisq(chi2_stat, df, lower.tail = FALSE))

# Or using the EnvStats package
library(EnvStats)
varTest(x, sigma.squared = 4, alternative = "two.sided")