Teste t pareado
O teste t pareado compara duas medidas relacionadas calculando a diferença para cada sujeito e aplicando um teste t de uma amostra a essas diferenças. Ao eliminar a variabilidade entre sujeitos, ele é mais poderoso do que o teste t de duas amostras quando o pareamento é eficaz.
Por que a análise pareada?
Quando os mesmos sujeitos são medidos duas vezes (antes/depois, esquerda/direita, dois tratamentos em delineamento cruzado), as duas observações dentro de cada par são correlacionadas. Um teste t de duas amostras ignora essa correlação e inclui a variabilidade entre sujeitos no erro padrão, tornando mais difícil detectar o efeito do tratamento.
O teste t pareado calcula \(d_i = X_{i,2} - X_{i,1}\) para cada sujeito e testa \(H_0: \mu_d = 0\) usando um teste t de uma amostra sobre os \(d_i\). A variabilidade entre sujeitos desaparece da análise.
Hipóteses
| Teste | \(H_0\) | \(H_1\) |
|---|---|---|
| Bilateral | \(\mu_d = 0\) | \(\mu_d \neq 0\) |
| Unilateral à direita | \(\mu_d = 0\) | \(\mu_d > 0\) |
| Unilateral à esquerda | \(\mu_d = 0\) | \(\mu_d < 0\) |
Mais geralmente, o teste pode avaliar \(H_0: \mu_d = \delta_0\) para qualquer diferença hipotética \(\delta_0\) (geralmente 0).
Estatística do teste
Dados \(n\) pares com diferenças \(d_i = X_{i,2} - X_{i,1}\):
\[\bar{d} = \frac{1}{n}\sum d_i, \qquad S_d = \sqrt{\frac{\sum(d_i - \bar{d})^2}{n-1}}\]
\[t = \frac{\bar{d} - \delta_0}{S_d / \sqrt{n}}\]
Sob \(H_0\), \(t \sim t(n-1)\). Isso é idêntico à fórmula do teste t de uma amostra aplicado às diferenças.
⚠️ Analisar dados pareados como amostras independentes desperdiça poder
Se você aplicar um teste t de duas amostras a dados pareados, o erro padrão inclui a variabilidade entre sujeitos que se cancela na análise pareada. O resultado é um IC mais amplo e um valor-p menos significativo, potencialmente deixando passar um efeito real.
O erro inverso também existe: tratar amostras independentes como pareadas (combinando observações arbitrariamente) também está errado e infla os graus de liberdade. Sempre combine sua análise com o delineamento do seu estudo.
Exemplos
Exemplo 1: pressão arterial antes e depois da medicação (bilateral)
Dez pacientes têm sua pressão arterial sistólica medida antes e depois de 4 semanas de tratamento:
| Paciente | Antes | Depois | \(d_i\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 152 | 141 | -11 |
| 2 | 148 | 139 | -9 |
| 3 | 165 | 158 | -7 |
| 4 | 143 | 138 | -5 |
| 5 | 156 | 143 | -13 |
| 6 | 160 | 152 | -8 |
| 7 | 149 | 145 | -4 |
| 8 | 158 | 148 | -10 |
| 9 | 144 | 139 | -5 |
| 10 | 162 | 155 | -7 |
\(\bar{d} = -7{,}9\) mmHg, \(S_d = 2{,}88\) mmHg.
Estatística do teste:
\[t = \frac{-7{,}9 - 0}{2{,}88/\sqrt{10}} = \frac{-7{,}9}{0{,}911} \approx -8{,}673\]
Valor-p (bilateral, \(gl = 9\)): \(p = 2 \times P(T_9 \leq -8{,}673) < 0{,}001\).
Decisão: rejeitamos \(H_0\). O medicamento reduz significativamente a pressão arterial.
Exemplo 2: novo programa de treinamento (unilateral à direita)
Oito funcionários completam uma avaliação de desempenho antes e depois de um programa de treinamento. Pontuações (depois - antes): \(+8, +5, +12, +3, +9, +6, +4, +7\).
\(\bar{d} = 6{,}75\), \(S_d = 2{,}87\).
Hipóteses: \(H_0: \mu_d = 0\) vs. \(H_1: \mu_d > 0\) (o treinamento melhora as pontuações).
Estatística do teste:
\[t = \frac{6{,}75}{2{,}87/\sqrt{8}} = \frac{6{,}75}{1{,}015} \approx 6{,}650\]
Valor-p (unilateral à direita, \(gl = 7\)): \(p = P(T_7 \geq 6{,}650) < 0{,}001\).
Decisão: rejeitamos \(H_0\). O programa de treinamento melhorou significativamente as pontuações de desempenho.
Ganho de poder pelo pareamento
O teste t pareado é mais poderoso do que o teste t de duas amostras quando a correlação intrassujeito é positiva (ou seja, sujeitos que pontuam alto antes também tendem a pontuar alto depois). A variância das diferenças é:
\[\text{Var}(d_i) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2\]
Quando \(\rho > 0\), \(\text{Var}(d_i) < \sigma_1^2 + \sigma_2^2\), que é o que o teste t de duas amostras usa. Quanto maior a correlação intrassujeito, maior a vantagem de poder do delineamento pareado.
Executando o teste em R
t.test(..., paired = TRUE) faz a diferenciação e o teste de uma amostra em uma única chamada:
before <- c(152, 148, 165, 143, 156, 160, 149, 158, 144, 162)
after <- c(141, 139, 158, 138, 143, 152, 145, 148, 139, 155)
# Paired t-test
t.test(after, before, paired = TRUE, alternative = "two.sided")
# Equivalent: one-sample t-test on differences
t.test(after - before, mu = 0, alternative = "two.sided")Ambas as chamadas dão resultados idênticos. A saída inclui \(\bar{d}\), \(t\), \(gl\), valor-p, e um IC de 95% para \(\mu_d\).
💡 Quando usar o teste t pareado
Use o teste t pareado quando:
- Os mesmos sujeitos são medidos duas vezes (antes/depois, duas condições).
- Os sujeitos são pareados por delineamento (gêmeos, casos e controles pareados).
- Cada observação do grupo 1 está naturalmente ligada a uma do grupo 2.
Use o teste t de duas amostras (Welch) quando os sujeitos dos dois grupos são diferentes e não há pareamento natural. Em caso de dúvida: você pode calcular \(d_i = X_{i,2} - X_{i,1}\) de forma significativa para cada unidade? Se sim, use o pareado. Para resultados binários/categóricos pareados em vez de uma diferença numérica, veja o teste de McNemar.
