Teste de Wilcoxon

Os testes de Wilcoxon são as alternativas não paramétricas padrão aos testes \(t\). O teste de postos sinalizados substitui o teste \(t\) pareado, e o teste de soma de postos substitui o teste \(t\) de duas amostras. Ambos usam postos em vez dos valores brutos, o que os torna robustos à não normalidade e a outliers, mantendo mais poder do que o teste dos sinais.

Teste de Wilcoxon de postos sinalizados (amostras pareadas)

Usado quando os mesmos sujeitos são medidos duas vezes, ou quando as observações são pareadas. Ele testa se a mediana da diferença entre pares é igual a zero.

Hipóteses: \(H_0\): a mediana da diferença é zero. \(H_1\): a mediana da diferença não é zero (ou maior/menor para testes unilaterais).

Suposição: as diferenças \(d_i = X_{i,\text{depois}} - X_{i,\text{antes}}\) são distribuídas simetricamente em torno de sua mediana (não necessariamente normal).

Procedimento:

1. Calcule as diferenças \(d_i\). Descarte os zeros.
2. Ordene as diferenças absolutas \(|d_i|\) de 1 (menor) a \(n\) (maior). Atribua postos médios para empates.
3. Associe o sinal original de cada diferença ao seu posto.
4. Calcule \(W^+ = \sum \text{postos sinalizados positivos}\) e \(W^- = \sum \text{postos sinalizados negativos}\).
5. A estatística do teste é \(W = \min(W^+, W^-)\).
6. Compare \(W\) com a tabela de Wilcoxon de postos sinalizados, ou calcule o valor-p exato pela distribuição binomial.

Escores de dor antes e depois do tratamento

Oito pacientes avaliam a dor (0-10) antes e depois de fisioterapia:

Paciente	Antes	Depois	\(d_i\)	\(|d_i|\)	Posto	Posto sinalizado
1	7	4	-3	3	5,5	-5,5
2	5	3	-2	2	3,0	-3,0
3	8	5	-3	3	5,5	-5,5
4	6	5	-1	1	1,5	-1,5
5	9	6	-3	3	5,5	-5,5
6	4	3	-1	1	1,5	-1,5
7	7	5	-2	2	3,0	-3,0
8	6	8	+2	2	3,0	+3,0

\(W^- = 5{,}5+3+5{,}5+1{,}5+5{,}5+1{,}5+3 = 25{,}5\), \(W^+ = 3{,}0\). Estatística do teste: \(W = \min(25{,}5,\, 3{,}0) = 3{,}0\).

Para \(n = 8\) e \(\alpha = 0{,}05\) (bilateral), o valor crítico é 3. Como \(W = 3 \leq 3\), rejeitamos \(H_0\).

O tratamento reduziu significativamente os escores de dor (\(p \approx 0{,}047\)).

Teste de soma de postos de Wilcoxon (amostras independentes)

Também conhecido como teste U de Mann-Whitney. Usado quando dois grupos independentes são comparados sem assumir normalidade.

Hipóteses: \(H_0\): as duas populações têm a mesma distribuição. \(H_1\): uma população tende a ter valores maiores.

Procedimento:

1. Combine todas as observações de ambos os grupos e as ordene de 1 a \(n_1 + n_2\).
2. Calcule \(W_1\) = soma dos postos do Grupo 1.
3. A estatística do teste é \(W = W_1\) (ou, equivalentemente, a estatística \(U\) de Mann-Whitney).
4. Compare com a tabela de soma de postos de Wilcoxon ou calcule o valor-p.

Comparando tempos de recuperação: dois tratamentos

Tratamento A (\(n_1 = 5\)): tempos de recuperação 8, 12, 15, 10, 14 dias. Tratamento B (\(n_2 = 5\)): tempos de recuperação 18, 20, 16, 22, 19 dias.

Combinados e ordenados (todos os 10 valores juntos):

Valor	8	10	12	14	15	16	18	19	20	22
Posto	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Grupo	A	A	A	A	A	B	B	B	B	B

\(W_A = 1+2+3+4+5 = 15\). Esperado sob \(H_0\): \(n_1(n_1+n_2+1)/2 = 5 \times 11/2 = 27{,}5\).

\(W_A = 15\) está muito abaixo dos 27,5 esperados, indicando que o Tratamento A tem tempos de recuperação consistentemente menores. O valor-p exato (bilateral) é \(p = 0{,}008\): rejeitamos \(H_0\).

Executando os testes em R

Ambos os testes usam wilcox.test() no R base. O argumento paired os diferencia:

# Signed-rank test (paired)
before <- c(7, 5, 8, 6, 9, 4, 7, 6)
after  <- c(4, 3, 5, 5, 6, 3, 5, 8)
wilcox.test(after, before, paired = TRUE, alternative = "two.sided")

# Rank-sum test (independent)
group_a <- c(8, 12, 15, 10, 14)
group_b <- c(18, 20, 16, 22, 19)
wilcox.test(group_a, group_b, alternative = "two.sided")

Para amostras grandes (\(n > 25\)), o R usa uma aproximação normal. Para amostras pequenas, valores-p exatos são calculados.