Teste z de duas amostras para proporções

O teste z de duas amostras para proporções avalia se duas proporções populacionais são iguais. Sob \(H_0: p_1 = p_2\), ambos os grupos compartilham a mesma proporção, então uma estimativa combinada é usada para calcular o erro padrão. Isso é o que distingue o teste do intervalo de confiança para \(p_1 - p_2\), que usa estimativas individuais.

Hipóteses

Estatística do teste

Dados \(x_1\) sucessos em \(n_1\) tentativas e \(x_2\) sucessos em \(n_2\) tentativas:

\[\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1}, \quad \hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2}\]

Sob \(H_0\), ambos os grupos compartilham uma proporção comum \(p\). Ela é estimada combinando os dados:

\[\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}\]

A estatística do teste é:

Sob \(H_0\) e a aproximação normal, \(Z \sim N(0,1)\).

A aproximação normal é válida quando todas as quatro contagens são pelo menos 10:

\[n_1\hat{p} \geq 10, \quad n_1(1-\hat{p}) \geq 10, \quad n_2\hat{p} \geq 10, \quad n_2(1-\hat{p}) \geq 10\]

Para contagens pequenas, use o teste exato de Fisher.

Exemplos

Exemplo 1: teste A/B de taxa de conversão (bilateral)

Uma plataforma de e-commerce testa dois designs de página de checkout. Versão A: 180 compras em 600 visitantes (\(\hat{p}_1 = 0{,}300\)). Versão B: 156 compras em 600 visitantes (\(\hat{p}_2 = 0{,}260\)). Há uma diferença significativa na taxa de conversão?

Proporção combinada:

\[\hat{p} = \frac{180 + 156}{600 + 600} = \frac{336}{1200} = 0{,}280\]

Verificação das condições: \(600 \times 0{,}280 = 168 \geq 10\), \(600 \times 0{,}720 = 432 \geq 10\). Válido.

Estatística do teste:

\[Z = \frac{0{,}300 - 0{,}260}{\sqrt{0{,}280 \times 0{,}720 \times (1/600 + 1/600)}} = \frac{0{,}040}{\sqrt{0{,}2016/600}} = \frac{0{,}040}{0{,}01833} \approx 2{,}182\]

Valor-p (bilateral): \(p = 2 \times P(Z \geq 2{,}182) \approx 0{,}029\).

Decisão: \(p = 0{,}029 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\). A versão A tem uma taxa de conversão significativamente maior.

Exemplo 2: eficácia de uma vacina (unilateral à esquerda)

Um ensaio clínico designa 500 participantes para a vacina e 500 para placebo. Infecções: 18 no grupo da vacina (\(\hat{p}_1 = 0{,}036\)) e 42 no grupo placebo (\(\hat{p}_2 = 0{,}084\)). A vacina é eficaz (menor taxa de infecção)?

Hipóteses: \(H_0: p_1 = p_2\) vs. \(H_1: p_1 < p_2\) (unilateral à esquerda, a vacina tem taxa menor).

Proporção combinada:

\[\hat{p} = \frac{18 + 42}{1000} = 0{,}060\]

Estatística do teste:

\[Z = \frac{0{,}036 - 0{,}084}{\sqrt{0{,}060 \times 0{,}940 \times (1/500 + 1/500)}} = \frac{-0{,}048}{\sqrt{0{,}0002256}} = \frac{-0{,}048}{0{,}01502} \approx -3{,}196\]

Valor-p (unilateral à esquerda): \(p = P(Z \leq -3{,}196) \approx 0{,}001\).

Decisão: \(p = 0{,}001 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\). A vacina reduz significativamente a taxa de infecção.

Conexão com o teste qui-quadrado

Para uma tabela de contingência \(2 \times 2\), o teste z bilateral para proporções e o teste qui-quadrado de independência são matematicamente equivalentes: \(Z^2 = \chi^2\) com \(gl = 1\). Para o Exemplo 1: \(Z^2 = 2{,}182^2 = 4{,}761 \approx \chi^2_{(1)}\).

O teste qui-quadrado generaliza para tabelas maiores que \(2 \times 2\); o teste z é específico para duas proporções e também lida com alternativas unilaterais, o que o teste qui-quadrado não faz.

Executando o teste em R

prop.test() no R realiza este teste usando a aproximação qui-quadrado (equivalente ao teste z para duas proporções):

# Example 1: A/B test (two-sided)
prop.test(x = c(180, 156), n = c(600, 600),
          alternative = "two.sided", correct = FALSE)

# Example 2: vaccine (one-sided left)
prop.test(x = c(18, 42), n = c(500, 500),
          alternative = "less", correct = FALSE)

# Fisher's exact test for small counts
fisher.test(matrix(c(18, 482, 42, 458), nrow = 2))

correct = FALSE desativa a correção de continuidade de Yates. A correção é conservadora e geralmente não é recomendada para amostras grandes.