Função de densidade de probabilidade marginal

A distribuição marginal de uma variável é o que se obtém ao observar essa variável isoladamente, ignorando toda a informação sobre a outra. Ela é obtida somando (caso discreto) ou integrando (caso contínuo) a distribuição conjunta sobre todos os valores possíveis da outra variável.

Definição

Dada a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias \((X, Y)\), as distribuições marginais são as distribuições individuais de \(X\) e \(Y\) obtidas ao colapsar a distribuição conjunta ao longo de um eixo.

Para variáveis contínuas, as PDFs marginais são:

Para variáveis discretas, as PMFs marginais são obtidas somando as linhas ou colunas da tabela conjunta:

O nome “marginal” vem da prática de escrever essas somas nas margens de uma tabela de probabilidade conjunta.

Caso discreto: marginais a partir de uma tabela conjunta

Usando o exemplo de exercício físico e escore de saúde das seções anteriores:

A marginal de \(X\) são os totais das linhas: \(P(X=0) = 0{,}30\), \(P(X=1) = 0{,}40\), \(P(X=2) = 0{,}30\).

A marginal de \(Y\) são os totais das colunas: \(P(Y=1) = 0{,}22\), \(P(Y=2) = 0{,}38\), \(P(Y=3) = 0{,}40\).

Cada marginal é uma PMF válida por si só: não negativa e soma 1.

Caso contínuo: calculando a PDF marginal

Suponha que a PDF conjunta de \(X\) e \(Y\) seja:

\[f_{X,Y}(x,y) = e^{-(x+y)}, \quad x \geq 0,\ y \geq 0\]

Primeiro, verifique que essa é uma PDF conjunta válida:

\[\int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x+y)}\, dy\, dx = \int_0^\infty e^{-x}\left[\int_0^\infty e^{-y}\, dy\right] dx = \int_0^\infty e^{-x} \cdot 1\, dx = 1 \checkmark\]

A PDF marginal de \(X\) é obtida integrando em relação a \(Y\):

\[f_X(x) = \int_0^\infty e^{-(x+y)}\, dy = e^{-x} \int_0^\infty e^{-y}\, dy = e^{-x} \cdot 1 = e^{-x}, \quad x \geq 0\]

Portanto \(X \sim \text{Exponencial}(1)\), com média 1. Por simetria, \(Y\) tem a mesma distribuição marginal.

Observe também que \(f_{X,Y}(x,y) = e^{-x} \cdot e^{-y} = f_X(x) \cdot f_Y(y)\), o que confirma que \(X\) e \(Y\) são independentes.

Figure 1: Distribuição conjunta de duas variáveis correlacionadas (centro) com suas PDFs marginais projetadas em cada eixo (painéis superior e direito)

Propriedades principais

• Cada marginal é uma PDF (ou PMF) válida: não negativa e integra (ou soma) a 1.
• As marginais não determinam de forma única a distribuição conjunta: muitas distribuições conjuntas diferentes podem ter as mesmas marginais.
• Se \(X\) e \(Y\) são independentes, a distribuição conjunta é igual ao produto das marginais: \(f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\). A afirmação inversa também é verdadeira.

As marginais não determinam a conjunta

Duas distribuições conjuntas muito diferentes podem compartilhar as mesmas marginais. Suponha que \((X, Y)\) tenha marginais \(X \sim \text{Uniforme}(0,1)\) e \(Y \sim \text{Uniforme}(0,1)\). Uma conjunta possível é o produto independente (uniforme no quadrado unitário), e outra pode concentrar a probabilidade ao longo da diagonal \(Y = X\). Ambas têm marginais idênticas, mas estruturas de dependência completamente diferentes. As marginais, por si só, nunca dizem como as variáveis covariam.