Função de distribuição acumulada

A função de distribuição acumulada (CDF) dá a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor menor ou igual a um ponto específico. Ela funciona para qualquer tipo de variável aleatória e é a base para calcular probabilidades, gerar amostras aleatórias e definir quantis.

Definição

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória \(X\) é definida como:

ℹ️ CDF de uma variável aleatória

\[ F(x) = P(X \leq x), \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R} \]

A CDF acumula probabilidade desde \(-\infty\) até \(x\). Ela é definida para qualquer número real \(x\), não apenas para os valores em que \(X\) tem probabilidade positiva.

Propriedades da CDF

Toda CDF, independentemente do tipo de variável aleatória, satisfaz as seguintes propriedades:

  • Limites: \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) e \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\).
  • Não decrescente: se \(a < b\) então \(F(a) \leq F(b)\).
  • Limitada: \(0 \leq F(x) \leq 1\) para todo \(x\).
  • Contínua à direita: \(\lim_{h \to 0^+} F(x+h) = F(x)\).
  • Probabilidade em um intervalo: \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\).

A última propriedade é a mais útil na prática: você pode calcular a probabilidade de qualquer intervalo usando apenas duas avaliações da CDF.

CDF para variáveis aleatórias discretas

Para uma variável aleatória discreta com valores possíveis \(x_1 < x_2 < \cdots\) e probabilidades \(p_i = P(X = x_i)\), a CDF é:

ℹ️ CDF para variáveis discretas

\[ F(x) = \sum_{x_i \leq x} p_i \]

A CDF de uma variável discreta é uma função escada: ela permanece constante entre valores consecutivos e salta em cada \(x_i\) exatamente \(p_i\).

CDF de dois lançamentos de moeda

Lance uma moeda honesta duas vezes. Seja (X) = número de caras. A PMF é:

  • \(P(X = 0) = 0{,}25\), \(P(X = 1) = 0{,}50\), \(P(X = 2) = 0{,}25\)

A CDF é:

  • \(F(x) = 0\) para \(x < 0\)
  • \(F(x) = 0{,}25\) para \(0 \leq x < 1\)
  • \(F(x) = 0{,}75\) para \(1 \leq x < 2\)
  • \(F(x) = 1{,}00\) para \(x \geq 2\)

Então \(P(X \leq 1) = 0{,}75\): há 75% de chance de obter no máximo uma cara.

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CDF de uma Binomial(10; 0,5): uma função escada que salta em cada valor possível

Figure 1: CDF de uma Binomial(10; 0,5): uma função escada que salta em cada valor possível

⚠️ Em variáveis discretas, P(X < x) ≠ P(X ≤ x)

Para variáveis aleatórias discretas, as desigualdades estrita e não estrita não são equivalentes:

\[P(X < 2) = F(1) = 0{,}75 \neq P(X \leq 2) = F(2) = 1{,}00\]

A diferença é exatamente \(P(X = 2) = 0{,}25\). Essa distinção desaparece para variáveis contínuas, em que \(P(X = x) = 0\) para qualquer ponto isolado, mas para variáveis discretas ela importa e é uma fonte comum de erros em cálculos de prova.

CDF para variáveis aleatórias contínuas

Para uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade \(f(x)\), a CDF é:

ℹ️ CDF para variáveis contínuas

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt \]

A CDF é uma curva suave e não decrescente que vai de 0 a 1. A relação entre a PDF e a CDF é:

\[f(x) = \frac{d}{dx} F(x)\]

A PDF é a derivada da CDF, e a CDF é a integral da PDF.

CDF de N(0,1): a área sombreada entre -1 e 1 é igual a F(1) - F(-1) ≈ 0,683

Figure 2: CDF de N(0,1): a área sombreada entre -1 e 1 é igual a F(1) - F(-1) ≈ 0,683

Usando a CDF para calcular probabilidades: tempo de resposta de um servidor

O tempo de resposta de um servidor web segue uma distribuição exponencial com média 200 ms, logo (\lambda = 1/200).

A CDF é \(F(x) = 1 - e^{-x/200}\) para \(x > 0\).

  • Probabilidade de responder em menos de 100 ms: \(F(100) = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}393\)
  • Probabilidade de responder em menos de 500 ms: \(F(500) = 1 - e^{-2{,}5} \approx 0{,}918\)
  • Probabilidade de levar entre 100 e 500 ms: \(F(500) - F(100) \approx 0{,}918 - 0{,}393 = 0{,}525\)

As três respostas vêm de duas avaliações da CDF.

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A CDF inversa: função quantil

A função quantil (ou CDF inversa) é \(F^{-1}(p)\): ela dá o valor \(x\) tal que \(F(x) = p\).

\[Q(p) = F^{-1}(p) = \inf\{x : F(x) \geq p\}\]

É assim que percentis e quantis são definidos formalmente. A mediana é \(Q(0{,}5)\), o primeiro quartil é \(Q(0{,}25)\), e assim por diante.

💡 A função quantil é essencial para simulação

Para gerar amostras aleatórias de qualquer distribuição, você só precisa da sua função quantil e de um gerador de números aleatórios uniformes. O método da transformada inversa funciona assim: se \(U \sim \text{Uniforme}(0,1)\), então \(X = F^{-1}(U)\) tem exatamente a distribuição com CDF \(F\). Essa é a base da maioria dos métodos de geração de números aleatórios em software estatístico.

CDF para variáveis aleatórias mistas

Variáveis aleatórias mistas têm uma CDF que combina saltos (do componente discreto) com trechos suaves (do componente contínuo). A CDF continua sendo contínua à direita e não decrescente, mas não é nem uma função escada pura, nem uma curva suave.

CDF mista: sinistros de seguro

Uma apólice de seguro paga zero com probabilidade 0,6 (nenhum sinistro é aberto) e um valor positivo seguindo uma distribuição exponencial caso contrário. A CDF é:

  • \(F(0) = 0{,}6\) (salto de 0,6 em zero)
  • \(F(x) = 0{,}6 + 0{,}4(1 - e^{-\lambda x})\) para \(x > 0\) (crescimento exponencial suave)

A CDF começa em 0, salta para 0,6 em \(x = 0\) e depois aumenta suavemente até 1.

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