Variáveis aleatórias unidimensionais
Uma variável aleatória é uma função que atribui um valor numérico a cada resultado de um experimento aleatório. As variáveis aleatórias unidimensionais atribuem esses resultados a um único número real, que é o caso mais comum em probabilidade e estatística introdutória.
Definição
Informalmente, uma variável aleatória é uma forma de transformar os resultados de um experimento aleatório em números. Lance um dado: atribua de 1 a 6 a cada face. Meça a altura de uma pessoa: registre-a em centímetros. Em ambos os casos, você tem uma regra que associa cada resultado possível a um número.
Formalmente, dado um espaço de probabilidade \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), uma variável aleatória é uma função mensurável:
\[X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\]
tal que, para qualquer conjunto de Borel \(B \subseteq \mathbb{R}\):
\[X^{-1}(B) = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \in B\} \in \mathcal{A}\]
Essa condição de mensurabilidade garante que faça sentido falar sobre a probabilidade de \(X\) assumir valores em qualquer intervalo ou conjunto.
- Lançar um dado honesto: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(X(\omega) = \omega\). A variável é o resultado do lançamento.
- Lançar uma moeda 10 vezes: \(X\) = número de caras. O espaço amostral tem \(2^{10}\) resultados, mas \(X\) os mapeia todos para \(\{0, 1, \ldots, 10\}\).
- Medir o tempo de espera em uma central de atendimento: \(X\) = tempo em segundos até a chamada ser atendida. \(X\) pode assumir qualquer valor real positivo.
A distinção-chave entre variáveis aleatórias é se o conjunto de valores possíveis é contável ou não.
Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória é discreta quando só pode assumir um conjunto finito ou infinito contável de valores, tipicamente inteiros.
Função de massa de probabilidade (PMF)
A função de massa de probabilidade atribui uma probabilidade a cada valor possível:
\[ P(X = x_i) = p_i, \quad \text{com } \sum_{i} p_i = 1 \text{ e } p_i \geq 0 \]
Função de distribuição acumulada (CDF)
A função de distribuição acumulada dá a probabilidade de \(X\) assumir um valor menor ou igual a \(x\):
\[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_i\]
Para variáveis discretas, a CDF é uma função em escada: permanece constante entre valores consecutivos e dá um salto em cada valor possível de \(X\).
Figure 1: PMF (esquerda) e CDF (direita) de uma distribuição Binomial(10; 0,5)
Uma fábrica produz lotes de 10 itens. Cada item é defeituoso com probabilidade 0,3, de forma independente. O número de itens defeituosos (X \sim \text{Binomial}(10;, 0{,}3)).
- \(P(X = 0) = 0{,}028\): probabilidade de não haver itens defeituosos.
- \(P(X = 2) = 0{,}233\): resultado mais provável.
- \(P(X \leq 3) = F(3) = 0{,}650\): 65% dos lotes têm 3 ou menos defeitos.
Variáveis aleatórias contínuas
Uma variável aleatória é contínua quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo (ou união de intervalos). Medidas como tempo, temperatura ou peso são naturalmente contínuas.
Função de densidade de probabilidade (PDF)
Para variáveis contínuas, valores individuais têm probabilidade zero. Em vez disso, as probabilidades são definidas sobre intervalos por meio da função de densidade de probabilidade \(f(x)\):
\[ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\, dx, \quad \text{com } \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1 \text{ e } f(x) \geq 0 \]
A PDF em si não é uma probabilidade: \(f(x)\) pode superar 1. É uma densidade, e apenas sua integral sobre um intervalo dá uma probabilidade.
Função de distribuição acumulada (CDF)
A CDF para uma variável aleatória contínua é:
\[F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt\]
Diferentemente do caso discreto, a CDF contínua é uma função suave e não decrescente. A relação entre PDF e CDF é:
\[f(x) = \frac{d}{dx} F(x)\]
A PDF é a derivada da CDF.
Figure 2: PDF (esquerda) e CDF (direita) de uma distribuição normal padrão N(0,1)
⚠️ Para variáveis contínuas, P(X = x) = 0 sempre
Essa é a fonte de confusão mais comum ao passar do discreto para o contínuo. Para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de assumir qualquer valor exato é zero:
\[P(X = 2{,}5) = \int_{2{,}5}^{2{,}5} f(x)\, dx = 0\]
Isso não significa que o valor seja impossível. Significa que, em uma distribuição contínua, as probabilidades só fazem sentido sobre intervalos, não em pontos individuais. Como consequência, para variáveis contínuas \(P(X \leq x) = P(X < x)\): a distinção entre desigualdades estritas e não estritas desaparece.
Propriedades da CDF
A CDF \(F(x)\) sempre satisfaz estas propriedades, seja a variável discreta ou contínua:
- \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) e \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\).
- \(F\) é não decrescente: se \(a < b\) então \(F(a) \leq F(b)\).
- \(F\) é contínua à direita: \(\lim_{h \to 0^+} F(x+h) = F(x)\).
- \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\).
A CDF é a linguagem universal para descrever qualquer variável aleatória, discreta ou contínua.
Variáveis aleatórias mistas
Algumas variáveis aleatórias não são puramente discretas nem puramente contínuas. Uma variável aleatória mista tem uma distribuição com um componente discreto (probabilidade positiva em pontos específicos) e um componente contínuo (uma densidade sobre um intervalo).
Uma apólice de seguro não paga nada se nenhum sinistro é aberto, e paga um valor positivo e contínuo caso contrário. Seja (X) o valor do sinistro:
- \(P(X = 0) = 0{,}6\): 60% dos segurados não abre nenhum sinistro (massa discreta em zero).
- Para \(X > 0\): \(X\) segue uma distribuição exponencial (componente contínuo).
Essa é uma variável aleatória mista: tem uma massa pontual em 0 e uma densidade contínua para valores positivos. Sua CDF tem um salto de 0,6 em zero, e depois cresce de forma suave para valores positivos.
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