Amostragem estratificada
A amostragem estratificada divide a população em subgrupos homogêneos (estratos) e extrai uma amostra independente de cada um. Ao garantir a representação de todos os estratos e reduzir a variância dentro de cada estrato, é quase sempre mais eficiente do que a amostragem aleatória simples para populações heterogêneas.
Por que estratificar?
A AAS pode, por acaso, representar em excesso ou em falta subgrupos importantes. A estratificação evita isso e reduz o erro padrão aproveitando o fato de que as unidades dentro de cada estrato são mais semelhantes entre si do que as unidades de outros estratos. O ganho em eficiência depende de quão diferentes são as médias dos estratos: quanto mais heterogênea for a população (e mais homogênea dentro de cada estrato), maior será a vantagem em relação à AAS.
Procedimento
Dada uma população de \(N\) unidades dividida em \(H\) estratos de tamanhos \(N_1, N_2, \ldots, N_H\):
- Defina estratos mutuamente exclusivos e exaustivos (cada unidade pertence exatamente a um estrato).
- Distribua o tamanho amostral total \(n\) entre os estratos: \(n_1, n_2, \ldots, n_H\) com \(\sum n_h = n\).
- Extraia uma amostra aleatória simples de tamanho \(n_h\) de forma independente dentro de cada estrato.
O estimador estratificado da média populacional é:
\[\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{H} W_h \bar{y}_h, \qquad W_h = \frac{N_h}{N}\]
em que \(\bar{y}_h\) é a média amostral dentro do estrato \(h\) e \(W_h\) é seu peso populacional. Sua variância é:
\[\text{Var}(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2 \cdot \frac{S_h^2}{n_h} \cdot \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right)\]
Métodos de alocação
Alocação proporcional
Cada estrato contribui para a amostra proporcionalmente ao seu tamanho:
\[n_h = n \cdot \frac{N_h}{N} = n \cdot W_h\]
Simples de aplicar e autoponderada (a média amostral geral \(\bar{y}\) é um estimador válido da média populacional sem necessidade de ponderação). Funciona bem quando as variâncias dentro dos estratos são semelhantes entre eles.
Alocação ótima (de Neyman)
Aloca mais observações aos estratos maiores e mais variáveis:
\[n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum_{j=1}^{H} N_j S_j}\]
em que \(S_h\) é o desvio padrão dentro do estrato. A alocação de Neyman minimiza \(\text{Var}(\bar{y}_{st})\) para um \(n\) total fixo. Exige uma estimativa prévia de \(S_h\) para cada estrato (de um estudo piloto ou de dados históricos).
Quando \(S_h\) é igual em todos os estratos, a alocação de Neyman se reduz à proporcional.
Exemplo completo: pesquisa com funcionários
Uma empresa com 1.000 funcionários em três departamentos quer pesquisar 100 funcionários sobre satisfação no trabalho. Os departamentos são:
| Departamento | \(N_h\) | \(W_h\) | \(S_h\) estimado |
|---|---|---|---|
| Vendas | 500 | 0,50 | 8,2 |
| Engenharia | 300 | 0,30 | 12,5 |
| RH | 200 | 0,20 | 5,1 |
Alocação proporcional:
\[n_\text{Vendas} = 100 \times 0{,}50 = 50, \quad n_\text{Eng} = 30, \quad n_\text{RH} = 20\]
Alocação de Neyman:
\[\sum N_h S_h = 500\times8{,}2 + 300\times12{,}5 + 200\times5{,}1 = 4100 + 3750 + 1020 = 8870\]
\[n_\text{Vendas} = 100 \times \frac{4100}{8870} \approx 46, \quad n_\text{Eng} = 100 \times \frac{3750}{8870} \approx 42, \quad n_\text{RH} = 100 \times \frac{1020}{8870} \approx 12\]
A alocação de Neyman desloca observações de Vendas e RH (menor variabilidade) para Engenharia (maior \(S_h\)), onde a informação adicional tem mais valor.
Ganho de eficiência em relação à AAS
A variância da média estratificada sob alocação proporcional satisfaz:
\[\text{Var}(\bar{y}_{st,\text{prop}}) \leq \text{Var}(\bar{y}_{AAS})\]
com igualdade apenas quando todas as médias dos estratos são idênticas (nenhum benefício da estratificação). O ganho aumenta com a variância entre estratos em relação à variância total.
⚠️ A estratificação pode ser prejudicial se os estratos estiverem mal definidos
A amostragem estratificada só é benéfica quando:
- Os estratos são internamente homogêneos (baixa variância dentro do estrato).
- Os estratos diferem significativamente entre si (alta variância entre estratos).
- A variável de estratificação está correlacionada com a variável de interesse.
Se os estratos forem definidos por uma variável não relacionada ao resultado (por exemplo, ordem alfabética de sobrenomes para um resultado de saúde), a estratificação não traz nenhum benefício e complica desnecessariamente a gestão de amostras separadas. No pior caso, estratos mal definidos podem aumentar a carga administrativa sem reduzir o erro padrão.
💡 Escolha das variáveis de estratificação
As boas variáveis de estratificação são as fortemente correlacionadas com o resultado. Escolhas comuns:
- Variáveis demográficas (idade, gênero, região) para pesquisas populacionais.
- Tamanho (receita da empresa, leitos hospitalares) para pesquisas empresariais ou institucionais.
- Resultado histórico (pontuação de satisfação anterior, vendas do ano passado) quando disponível.
Uma regra prática útil: se você conseguir prever o resultado de forma moderada a partir da variável de estratificação, a estratificação será eficiente. Caso contrário, a AAS ou a amostragem sistemática pode ser mais simples e igualmente eficaz.
