Distribuição exponencial

A distribuição exponencial modela o tempo de espera entre eventos em um processo de Poisson. É a contraparte contínua da distribuição geométrica e a única distribuição contínua com a propriedade de ausência de memória.

Definição

Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição exponencial com parâmetro de taxa \(\lambda > 0\), escrita \(X \sim \text{Exp}(\lambda)\), se sua função de densidade de probabilidade é:

O parâmetro \(\lambda\) é a taxa: o número médio de eventos por unidade de tempo. O tempo médio de espera entre eventos é \(1/\lambda\).

Função de densidade de probabilidade e CDF

A CDF tem uma forma fechada simples:

A função de sobrevivência (probabilidade de sobreviver além de \(x\)) é simplesmente:

\[P(X > x) = e^{-\lambda x}\]

Propriedades

Para \(X \sim \text{Exp}(\lambda)\):

1. Valor esperado (média)

\[E(X) = \frac{1}{\lambda}\]

2. Variância

\[\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\]

Observe que \(\text{SD}(X) = 1/\lambda = E(X)\): o desvio padrão é igual à média. Essa é uma propriedade característica da exponencial.

3. Assimetria

Sempre 2: a exponencial é sempre assimétrica à direita, independentemente de \(\lambda\).

4. Curtose

\[g_2 = 6\]

Fortemente leptocúrtica: a exponencial tem caudas muito mais pesadas do que a normal.

5. Moda

Sempre 0: o valor mais provável está na origem.

6. Função quantílica

\[Q(p) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-p)\]

A mediana é \(Q(0{,}5) = \ln(2)/\lambda \approx 0{,}693/\lambda\), que é menor do que a média \(1/\lambda\). A distribuição é assimétrica à direita, então a mediana está sempre abaixo da média.

A propriedade de ausência de memória

A distribuição exponencial é a única distribuição contínua com a propriedade de ausência de memória:

\[P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\]

Se você já esperou \(s\) unidades de tempo sem que um evento ocorresse, a probabilidade de esperar \(t\) unidades adicionais é exatamente a mesma que se você tivesse apenas começado a esperar. O tempo de espera passado não fornece nenhuma informação sobre o futuro.

Propriedade de ausência de memória: tempo de atividade de um servidor

Um servidor está em funcionamento há 3 anos sem falhas. Seu tempo de atividade segue \(\text{Exp}(\lambda)\). Qual é a probabilidade de que ele funcione por pelo menos mais 2 anos?

Pela propriedade de ausência de memória, isso é exatamente \(P(X > 2) = e^{-2\lambda}\), a mesma probabilidade que você calcularia se o servidor tivesse sido ligado agora. Os 3 anos de operação sem problemas são completamente irrelevantes.

Exemplo passo a passo

Os servidores de um data center falham, em média, uma vez a cada 200 dias (\(\lambda = 1/200\)). Seja \(X\) = dias até a próxima falha, \(X \sim \text{Exp}(1/200)\).

Probabilidade de funcionar por mais de 100 dias:

\[P(X > 100) = e^{-100/200} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\]

Cerca de 61% dos servidores sobrevivem além de 100 dias sem falhar.

Probabilidade de falhar nos primeiros 50 dias:

\[F(50) = 1 - e^{-50/200} = 1 - e^{-0{,}25} \approx 0{,}2212\]

Cerca de 22% dos servidores falham nos primeiros 50 dias.

Tempo mediano até a falha:

\[Q(0{,}5) = -200\ln(0{,}5) = 200\ln(2) \approx 138{,}6 \text{ dias}\]

Metade de todos os servidores falha antes de 138,6 dias, mesmo que a média seja 200 dias. A assimetria à direita faz com que a média seja puxada para cima pelos raros servidores que duram muito mais tempo.

Mais exemplos da distribuição exponencial

• Central de atendimento: as chamadas chegam a uma taxa de 5 por minuto (\(\lambda = 5\)). Tempo entre chamadas: \(\text{Exp}(5)\). Espera média: \(1/5 = 0{,}2\) minutos = 12 segundos.

• Decaimento radioativo: um átomo radioativo decai com taxa \(\lambda = 0{,}001\) por ano. Probabilidade de sobreviver 500 anos: \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}607\).

• Atendimento ao cliente: a duração média de uma chamada é 8 minutos (\(\theta = 8\), \(\lambda = 1/8\)). Probabilidade de que uma chamada dure mais de 15 minutos: \(e^{-15/8} \approx 0{,}153\).

Conexão com a distribuição de Poisson

As distribuições exponencial e de Poisson são dois lados do mesmo modelo. Se os eventos ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa \(\lambda\):

• O número de eventos em um intervalo fixo de duração \(t\) segue \(\text{Poisson}(\lambda t)\).
• O tempo de espera entre eventos consecutivos segue \(\text{Exp}(\lambda)\).

Essa conexão significa que, se você conhece \(\lambda\) para um modelo de contagem de Poisson, você automaticamente conhece a distribuição dos tempos entre eventos, e vice-versa.