Distribuição de Weibull
A distribuição de Weibull é o modelo padrão para dados de tempo até a falha em engenharia de confiabilidade e análise de sobrevivência. Sua característica principal é o parâmetro de forma \(k\), que determina se a taxa de falha aumenta, permanece constante ou diminui com o tempo.
Definição
Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição de Weibull com parâmetro de forma \(k > 0\) e parâmetro de escala \(\lambda > 0\), escrita \(X \sim \text{Weibull}(k, \lambda)\), se:
\[f(x) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}, \quad x \geq 0\]
A CDF tem uma forma fechada simples:
\[F(x) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}, \quad x \geq 0\]
⚠️ A notação dos parâmetros varia conforme a fonte e o software
Fontes diferentes usam símbolos diferentes para os mesmos parâmetros:
- O R usa
shape(\(k\)) escale(\(\lambda\)):dweibull(x, shape = k, scale = lambda). - Alguns livros de engenharia escrevem a PDF como \(f(x) = \frac{\beta}{\eta}(x/\eta)^{\beta-1}e^{-(x/\eta)^\beta}\), em que \(\beta = k\) (forma) e \(\eta = \lambda\) (vida característica).
- Algumas fontes usam a taxa \(\lambda' = 1/\lambda\) em vez da escala \(\lambda\).
Verifique sempre qual convenção a sua fonte usa antes de substituir números em uma fórmula.
O parâmetro de forma: três regimes de falha
O parâmetro de forma \(k\) determina como a taxa de falha evolui com o tempo, que é a pergunta central na análise de confiabilidade:
- \(k < 1\): a taxa de falha diminui com o tempo. As falhas se concentram no início da vida do componente (mortalidade infantil, defeitos iniciais). Os itens que sobrevivem ao período inicial se tornam progressivamente mais confiáveis.
- \(k = 1\): a taxa de falha é constante. A Weibull se reduz à distribuição exponencial. As falhas ocorrem de forma aleatória, independentemente da idade.
- \(k > 1\): a taxa de falha aumenta com o tempo. Os componentes se desgastam e ficam mais propensos a falhar conforme envelhecem. A maioria dos componentes mecânicos se encaixa nessa categoria.
Função de risco
A função de risco (também chamada de taxa de falha ou função de intensidade) é a taxa instantânea de falha no tempo \(x\), dado que houve sobrevivência até \(x\):
\[h(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}\]
Para a Weibull, a função de risco é uma potência de \(x\):
- \(k < 1\): \(h(x)\) é decrescente (falhas precoces dominam).
- \(k = 1\): \(h(x) = 1/\lambda\) é constante (sem memória, exponencial).
- \(k > 1\): \(h(x)\) é crescente (envelhecimento, desgaste).
Figure 1: Função de risco: k<1 dá taxa de falha decrescente (mortalidade infantil), k=1 constante (exponencial), k>1 crescente (desgaste)
💡 A curva da banheira
Na engenharia de confiabilidade, a vida útil de uma população de componentes costuma seguir a “curva da banheira”: taxa de falha alta no início (mortalidade infantil, \(k < 1\)), depois uma taxa estável e baixa durante a vida útil (\(k \approx 1\)), e por fim taxa crescente conforme os componentes envelhecem (\(k > 1\)). A distribuição de Weibull modela cada fase separadamente. Na prática, a curva da banheira completa exige uma mistura de distribuições de Weibull com parâmetros de forma diferentes.
Propriedades
Para \(X \sim \text{Weibull}(k, \lambda)\):
- Valor esperado (média)
\[E(X) = \lambda\,\Gamma\!\left(1 + \frac{1}{k}\right)\]
em que \(\Gamma\) é a função gama. Para \(k = 2\), \(\lambda = 5\): \(E(X) = 5\,\Gamma(1{,}5) = 5 \times 0{,}886 \approx 4{,}43\).
- Variância
\[\text{Var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\!\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\!\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right)^2\right]\]
- Assimetria
\[\text{Assimetria} = \frac{\Gamma(1 + 3/k)\lambda^3 - 3E(X)\text{Var}(X) - E(X)^3}{\text{Var}(X)^{3/2}}\]
Positiva para \(k < 3{,}6\), aproximadamente zero para \(k \approx 3{,}6\) e ligeiramente negativa para valores maiores de \(k\).
- Mediana
\[\text{Mediana} = \lambda(\ln 2)^{1/k}\]
- Moda
\[\text{Moda} = \lambda\left(\frac{k-1}{k}\right)^{1/k}, \quad \text{para } k > 1\]
Para \(k \leq 1\), a moda é 0.
- Função quantil
\[Q(p) = \lambda\left(-\ln(1-p)\right)^{1/k}\]
Exemplo passo a passo
A pá de uma turbina tem uma vida útil que segue \(\text{Weibull}(k=2{,}5,\, \lambda=1000)\) horas.
Probabilidade de falha nas primeiras 500 horas:
\[F(500) = 1 - e^{-(500/1000)^{2{,}5}} = 1 - e^{-0{,}177} \approx 0{,}162\]
Aproximadamente 16,2% das pás falham nas primeiras 500 horas.
Vida útil esperada:
\[E(X) = 1000\,\Gamma(1 + 1/2{,}5) = 1000\,\Gamma(1{,}4) \approx 1000 \times 0{,}887 = 887 \text{ horas}\]
Vida útil mediana:
\[Q(0{,}5) = 1000(\ln 2)^{1/2{,}5} = 1000 \times 0{,}693^{0{,}4} \approx 1000 \times 0{,}860 = 860 \text{ horas}\]
Percentil 90 (vida útil que 90% das pás alcançam):
\[Q(0{,}90) = 1000(-\ln 0{,}10)^{1/2{,}5} = 1000 \times 2{,}303^{0{,}4} \approx 1000 \times 1{,}406 = 1.406 \text{ horas}\]
Em um ensaio clínico, o tempo até a recaída segue \(\text{Weibull}(k=2,\, \lambda=5)\) anos (\(k>1\) porque o risco de recaída aumenta com o tempo desde o tratamento).
- Tempo mediano até a recaída: \(5(\ln 2)^{1/2} \approx 5 \times 0{,}833 = 4{,}16\) anos.
- Probabilidade de sobrevivência sem recaída além de 3 anos: \(P(X > 3) = e^{-(3/5)^2} = e^{-0{,}36} \approx 0{,}698\) (aproximadamente 70%).
- Probabilidade de sobrevivência sem recaída além de 7 anos: \(e^{-(7/5)^2} = e^{-1{,}96} \approx 0{,}141\) (aproximadamente 14%).
💡 Relação com outras distribuições
- Exponencial: \(\text{Weibull}(1, \lambda) = \text{Exp}(1/\lambda)\). Taxa de risco constante.
- Rayleigh: \(\text{Weibull}(2, \lambda)\). Usada para modelar a velocidade do vento.
- Gama: ambas generalizam a exponencial, mas de forma diferente. A gama modela a soma de tempos de espera exponenciais; a Weibull modela um único tempo de espera com taxa não constante.
- Valor extremo: se \(X \sim \text{Weibull}(k, \lambda)\), então \(\ln(X)\) segue uma distribuição de Gumbel (valor extremo).
