Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando os eventos acontecem de forma independente e a uma taxa média constante. É amplamente usada em teoria de filas, engenharia de confiabilidade, epidemiologia e telecomunicações.
Definição
Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda > 0\), escrita \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\), se:
\[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots\]
em que \(\lambda\) é o número esperado de eventos no intervalo, \(k\) é a contagem observada, e \(e \approx 2{,}71828\) é o número de Euler.
A distribuição de Poisson exige três condições:
- Os eventos ocorrem de forma independente: um evento não torna outro mais ou menos provável.
- A taxa média \(\lambda\) é constante ao longo do intervalo.
- Dois eventos não podem ocorrer exatamente no mesmo instante (sem eventos simultâneos).
Função de massa de probabilidade e CDF
A PMF dá a probabilidade de exatamente \(k\) eventos. A CDF os acumula:
\[F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}\]
Figure 1: À medida que lambda aumenta, a distribuição de Poisson se desloca para a direita e se torna mais simétrica
Propriedades
Para \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\):
- Valor esperado (média)
\[E(X) = \lambda\]
- Variância
\[\text{Var}(X) = \lambda\]
A média e a variância são iguais. Essa é a característica definidora da distribuição de Poisson e a base para verificar se os dados seguem essa distribuição.
- Assimetria
\[\text{Assimetria} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\]
A distribuição tem assimetria à direita para \(\lambda\) pequeno e se torna progressivamente mais simétrica conforme \(\lambda\) cresce.
- Curtose
\[g_2 = \frac{1}{\lambda}\]
- Moda
\(\lfloor \lambda \rfloor\) se \(\lambda\) não é um inteiro. Se \(\lambda\) é um inteiro, tanto \(\lambda\) quanto \(\lambda - 1\) são modas.
- Função quantil
Não existe expressão fechada. É calculada numericamente pela maioria dos softwares.
Exemplo passo a passo
Um pronto-socorro hospitalar recebe uma média de 8 pacientes por hora durante os turnos noturnos. Seja \(X \sim \text{Poisson}(8)\).
Probabilidade de exatamente 5 chegadas em uma hora:
\[P(X = 5) = \frac{8^5 e^{-8}}{5!} = \frac{32768 \times 0{,}000335}{120} \approx 0{,}0916\]
Cerca de 9,2% de chance de exatamente 5 chegadas.
Probabilidade de 10 ou mais chegadas (turno sobrecarregado):
\[P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9) = 1 - F(9) \approx 1 - 0{,}717 = 0{,}283\]
Quase 28% dos turnos noturnos terão 10 ou mais chegadas.
Chegadas esperadas e desvio padrão:
\[E(X) = 8, \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{8} \approx 2{,}83\]
- Call center: uma linha de suporte recebe em média 12 chamadas por hora. \(X \sim \text{Poisson}(12)\). Probabilidade de exatamente 10 chamadas: \(P(X=10) \approx 0{,}105\).
- Erros em um site: um servidor registra em média 2 erros por dia. \(X \sim \text{Poisson}(2)\). Probabilidade de zero erros: \(P(X=0) = e^{-2} \approx 0{,}135\).
- Decaimento radioativo: um contador Geiger registra em média 3 partículas por segundo. \(X \sim \text{Poisson}(3)\). Probabilidade de 5 ou mais: \(P(X \geq 5) \approx 0{,}185\).
Pressupostos e limitações
Todos os exemplos acima assumiram que os eventos ocorrem de forma independente a uma taxa constante, e dados de contagem reais nem sempre cooperam.
⚠️ Superdispersão: quando Var(X) > E(X)
A distribuição de Poisson assume \(\text{Var}(X) = E(X)\). Na prática, dados de contagem costumam mostrar superdispersão: a variância é maior que a média. Isso acontece quando os eventos não são verdadeiramente independentes (casos de doença se agrupam em residências, acidentes se concentram em locais específicos) ou quando \(\lambda\) varia entre observações.
Se você ajustar um modelo de Poisson e detectar superdispersão, use a distribuição binomial negativa em vez disso. Ignorar a superdispersão leva a erros padrão pequenos demais e p-valores otimistas demais.
⚠️ A taxa precisa ser constante ao longo do intervalo
A distribuição de Poisson assume que (\lambda) é constante. Se a taxa varia com o tempo (mais chamadas de manhã do que à noite, mais acidentes com chuva), um único modelo de Poisson não é apropriado. Considere dividir o intervalo, usar um processo de Poisson não homogêneo, ou incluir covariáveis em um modelo de regressão de Poisson.
Poisson como aproximação da Binomial
Quando \(n\) é grande e \(p\) é pequeno, a distribuição binomial é bem aproximada por uma Poisson com \(\lambda = np\):
\[\text{Binomial}(n, p) \approx \text{Poisson}(np) \quad \text{quando } n \text{ é grande, } p \text{ é pequeno}\]
Uma regra prática comum: \(n \geq 20\) e \(p \leq 0{,}05\).
Uma fábrica produz 10.000 componentes por dia. Cada um tem uma probabilidade de 0,03% de ser defeituoso, de forma independente. O modelo exato é (X \sim \text{Binomial}(10000;, 0{,}0003)), mas a aproximação de Poisson (X \sim \text{Poisson}(3)) dá probabilidades praticamente idênticas e é muito mais simples de usar.
\(P(X = 0) = e^{-3} \approx 0{,}050\) (Poisson) contra \(0{,}0497\) (Binomial exata). O erro de aproximação é desprezível.
💡 Relação com outras distribuições
- Binomial: a Poisson é o limite da Binomial\((n, p)\) quando \(n \to \infty\) e \(p \to 0\) com \(np = \lambda\) fixo.
- Aproximação normal: para \(\lambda\) grande, \(\text{Poisson}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda, \lambda)\).
- Binomial negativa: use quando os dados mostrarem superdispersão (\(\text{Var}(X) > E(X)\)).
- Exponencial: se os eventos seguem um processo de Poisson com taxa \(\lambda\), o tempo entre eventos consecutivos segue uma distribuição Exponencial\((\lambda)\).
