Distribuição uniforme discreta
A distribuição uniforme discreta atribui igual probabilidade a cada resultado de um conjunto finito. É a distribuição discreta mais simples e o fundamento matemático de qualquer processo em que todos os resultados são igualmente prováveis.
Definição
Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição uniforme discreta sobre um conjunto de \(n\) valores \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) se todos os valores têm a mesma probabilidade:
\[P(X = x_i) = \frac{1}{n}, \quad i = 1, 2, \ldots, n\]
A parametrização mais comum usa valores inteiros de \(a\) a \(b\), dando \(n = b - a + 1\) resultados igualmente prováveis. Escreve-se \(X \sim \text{Uniforme}(a, b)\).
Função de massa de probabilidade e CDF
A PMF é constante em todos os valores possíveis:
\[P(X = x) = \frac{1}{n} \quad \text{para } x \in \{a, a+1, \ldots, b\}\]
A função de distribuição acumulada dá a probabilidade de estar em ou abaixo de um valor dado:
\[F(x) = \frac{\lfloor x \rfloor - a + 1}{n} \quad \text{para } a \leq x \leq b\]
em que \(\lfloor x \rfloor\) é a função piso. \(F(x) = 0\) para \(x < a\) e \(F(x) = 1\) para \(x > b\).
Propriedades
Para \(X \sim \text{Uniforme}(a, b)\) com \(n = b - a + 1\):
- Valor esperado (média)
\[E(X) = \frac{a + b}{2}\]
- Variância
\[\text{Var}(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{(b-a+1)^2 - 1}{12}\]
- Assimetria
Sempre 0: a distribuição é perfeitamente simétrica em torno da sua média.
- Curtose
\[g_2 = -\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}\]
Para \(n\) grande, a curtose se aproxima de \(-1{,}2\): a distribuição é mais achatada do que a normal (platicúrtica).
- Função quantil
\[Q(p) = a + \lfloor p \cdot n \rfloor\]
Exemplo: lançar um dado
Um dado padrão de seis lados dá \(X \sim \text{Uniforme}(1, 6)\), com \(n = 6\).
- PMF: \(P(X = k) = 1/6 \approx 0{,}167\) para \(k = 1, 2, \ldots, 6\).
- Média: \(E(X) = (1+6)/2 = 3{,}5\). No longo prazo, o resultado médio é 3,5.
- Variância: \(\text{Var}(X) = (36-1)/12 = 35/12 \approx 2{,}92\).
- CDF: \(F(4) = 4/6 \approx 0{,}667\). Há 66,7% de chance de obter 4 ou menos.
- Quantil: \(Q(0{,}5) = 1 + \lfloor 0{,}5 \times 6 \rfloor = 4\) (a mediana é 4).
- Gerador de números aleatórios: gerar um inteiro aleatório de 1 a 100 uniformemente. Cada inteiro tem probabilidade 1/100.
- Randomização em ensaios clínicos: atribuir pacientes aleatoriamente ao tratamento A ou B. Cada paciente tem probabilidade 1/2 de cada atribuição.
- Amostragem aleatória: sortear um ID de funcionário de uma lista de 500. Cada ID tem probabilidade 1/500.
- Loteria: escolher o número sorteado de 1 a 49 uniformemente antes de qualquer sorteio.
⚠️ Uniforme discreta vs uniforme contínua
Não confunda essas duas distribuições. A uniforme discreta atribui probabilidade (1/n) a cada um de (n) valores específicos. A uniforme contínua atribui probabilidade zero a qualquer ponto isolado e só faz sentido em intervalos. Um inteiro aleatório de 1 a 6 é uniforme discreta. O horário de chegada de um ônibus, sabendo apenas que ocorre dentro de uma janela de 10 minutos, é uniforme contínua. As fórmulas de média, variância e CDF são diferentes em cada caso.
Amostragem com e sem reposição
Extrações consecutivas de uma distribuição uniforme discreta são independentes se a amostragem for feita com reposição. Se você lançar um dado duas vezes, o segundo lançamento não é afetado em nada pelo primeiro.
Se a amostragem for sem reposição (tirar cartas de um baralho sem devolvê-las), os resultados deixam de ser uniformes sobre o mesmo conjunto após cada extração, e um modelo hipergeométrico é mais apropriado.
💡 Quando usar a distribuição uniforme discreta
