Distribuição uniforme contínua

A distribuição uniforme contínua atribui igual densidade de probabilidade a todos os valores em um intervalo \((a, b)\). É a distribuição contínua mais simples e o modelo matemático para “escolha um número aleatório entre \(a\) e \(b\)”.

Definição

Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo \((a, b)\), escrita \(X \sim U(a, b)\), se sua função de densidade de probabilidade (PDF) é:

A densidade é constante ao longo do intervalo: nenhum valor é mais provável do que outro. A altura do retângulo é \(1/(b-a)\), escolhida para que a área total seja 1.

Função de distribuição acumulada

A CDF cresce linearmente de 0 a 1 ao longo do intervalo:

A probabilidade de cair em qualquer subintervalo \([c, d] \subseteq [a, b]\) é simplesmente proporcional ao seu comprimento:

\[P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}\]

Propriedades

Para \(X \sim U(a, b)\):

1. Valor esperado (média)

\[E(X) = \frac{a + b}{2}\]

A média é o ponto médio do intervalo. Como a distribuição é simétrica, média e mediana coincidem.

2. Variância

\[\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

A variância cresce com o quadrado da amplitude do intervalo: dobrar o intervalo quadruplica a variância.

3. Assimetria

Sempre 0. A distribuição é perfeitamente simétrica em torno da sua média.

4. Curtose

\[g_2 = -\frac{6}{5} = -1{,}2\]

Platicúrtica: mais achatada do que a distribuição normal, com caudas mais leves.

5. Moda

Qualquer valor em \((a, b)\) é uma moda: a densidade é constante, então nenhum valor é mais provável do que outro.

6. Função quantil

\[Q(p) = a + p(b - a)\]

Uma interpolação linear entre \(a\) e \(b\). A mediana é \(Q(0{,}5) = (a+b)/2\).

Exemplo passo a passo

Um serviço de entregas garante a chegada dentro de uma janela de 2 horas. O tempo real de chegada \(X\) é uniformemente distribuído, \(X \sim U(0, 120)\) minutos.

Probabilidade de chegar nos primeiros 30 minutos:

\[P(X \leq 30) = F(30) = \frac{30 - 0}{120 - 0} = 0{,}25\]

Probabilidade de chegar entre 45 e 90 minutos:

\[P(45 \leq X \leq 90) = \frac{90 - 45}{120} = \frac{45}{120} = 0{,}375\]

Tempo de chegada esperado:

\[E(X) = \frac{0 + 120}{2} = 60 \text{ minutos}\]

Variância e desvio padrão:

\[\text{Var}(X) = \frac{120^2}{12} = 1200, \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{1200} \approx 34{,}6 \text{ minutos}\]

Mais exemplos da distribuição uniforme

• Erro de arredondamento: quando uma medição é arredondada para o inteiro mais próximo, o erro de arredondamento é \(U(-0{,}5;\, 0{,}5)\). Erro esperado: 0. Variância: \(1/12 \approx 0{,}083\).
• Geração de números aleatórios: os geradores de números aleatórios dos computadores produzem valores \(U(0, 1)\), que depois são transformados em qualquer outra distribuição.
• Tempo de espera do ônibus: se os ônibus passam a cada 10 minutos e você chega em um momento aleatório, seu tempo de espera é \(U(0, 10)\). Espera esperada: 5 minutos.

O método da transformada inversa

A distribuição \(U(0, 1)\) é a base da simulação. O método da transformada inversa afirma: se \(U \sim U(0, 1)\), então \(X = F^{-1}(U)\) segue qualquer distribuição com CDF \(F\).

Para a uniforme em \((a, b)\): \(X = a + U(b - a)\). Para uma exponencial com taxa \(\lambda\): \(X = -\ln(U)/\lambda\). É assim que a maioria dos softwares estatísticos gera números aleatórios de qualquer distribuição.