Como calcular a média em estatística
A média é a medida de tendência central mais utilizada, mas existe em várias formas. Este tutorial cobre a média aritmética, ponderada, truncada e geométrica: o que cada uma mede, quando usá-la e quando evitá-la.
Média aritmética
A média aritmética é o que a maioria das pessoas entende quando diz “média”. É definida como a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Para um conjunto de \(n\) valores \((x_1, x_2, \dots, x_n)\), a média \(\bar{x}\) é:
\[\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i}{n},\]
sendo \(x_i\) a observação \(i\) de \(x\).
Propriedades
A média aritmética tem três propriedades úteis ao trabalhar com dados transformados:
- Soma de desvios nula: a soma dos desvios em relação à média é sempre zero, \(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0\).
- Translação: somar uma constante \(c\) a todos os valores desloca a média na mesma quantidade. Se \(Y = X + c\), então \(\bar{y} = \bar{x} + c\).
- Escala: multiplicar todos os valores por uma constante \(c\) multiplica a média por essa constante. Se \(Y = cX\), então \(\bar{y} = c\bar{x}\).
- Transformação linear: combinando as duas, se \(Y = aX + b\), então \(\bar{y} = a\bar{x} + b\).
Os preços de venda de quatro carros são: 25.000, 32.000, 15.000 e 72.000 USD.
Preço médio:
\[\bar{x} = \frac{25000 + 32000 + 15000 + 72000}{4} = 36.000 \text{ USD.}\]
Se todos os preços aumentarem 5.000 USD, qual é a nova média?
Pela propriedade de translação: \(\bar{y} = 36.000 + 5.000 = 41.000\) USD. Não é preciso recalcular do zero.
Se todos os preços aumentarem 10%, qual é a nova média?
Pela propriedade de escala: \(\bar{y} = 36.000 \times 1{,}1 = 39.600\) USD.
O problema dos valores discrepantes
A média aritmética é sensível a valores extremos. Um único outlier pode arrastar a média para longe de onde está a maior parte dos dados.
Figure 1: Um outlier desloca significativamente a média, enquanto a mediana permanece estável
⚠️ Quando não usar a média aritmética
Evite a média aritmética quando:
- Os dados têm outliers importantes: o salário de um único executivo em uma amostra de funcionários fará com que a média não represente nenhum valor “típico”.
- A distribuição é fortemente assimétrica: preços de imóveis, renda e população de cidades são exemplos clássicos. A mediana é uma escolha melhor.
- A variável é ordinal: calcular a média de notas de satisfação (1 = péssimo, 5 = excelente) assume distâncias iguais entre categorias, o que não é garantido.
Média truncada
A média truncada remove uma porcentagem fixa dos valores mais baixos e mais altos antes de calcular a média. É uma forma simples de reduzir a influência dos outliers sem mudar completamente de medida.
Para calcular a média truncada a \(p\)%: ordene os dados, remova \(p\)% dos valores de cada extremo e calcule a média aritmética do que resta.
Figure 2: Média truncada a 10%: os dois valores extremos (em vermelho) são removidos antes de calcular a média
Considere os seguintes 10 valores: (1, 17, 19, 20, 22, 23, 27, 29, 32, 210).
A média aritmética é: \[\bar{x} = \frac{1 + 17 + \cdots + 210}{10} = 40.\]
Com uma truncagem de 10%, removemos 1 valor de cada extremo (10% de 10). Ordenando e removendo os extremos:
1, 17, 19, 20, 22, 23, 27, 29, 32, 210
A média truncada é: \[\bar{x}_t = \frac{17 + 19 + 20 + 22 + 23 + 27 + 29 + 32}{8} = 23{,}625.\]
Os dois outliers (1 e 210) estavam arrastando a média aritmética até 40, bem longe de onde a maioria dos valores realmente está.
💡 Uso real da média truncada
Média ponderada
A média aritmética assume que todas as observações têm a mesma importância. A média ponderada permite que valores diferentes contribuam de forma diferente, de acordo com um peso \(w_i\) atribuído a cada observação \(x_i\):
\[\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^k x_i \cdot w_i}{\sum_{i=1}^k w_i}.\]
Um curso tem três avaliações com pesos diferentes: uma prova intermediária (20%), um projeto (20%) e uma prova final (60%). Um estudante obtém 5, 7 e 8.
\[\bar{x}_w = \frac{5 \cdot 0{,}2 + 7 \cdot 0{,}2 + 8 \cdot 0{,}6}{0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}6} = \frac{1 + 1{,}4 + 4{,}8}{1} = 7{,}2.\]
Com uma média aritmética simples, a nota seria 6,67. A média ponderada reflete o fato de que a prova final tem mais peso.
Veja média ponderada para se aprofundar, com exemplos de retorno de carteiras e taxas populacionais, e a conexão da fórmula com estimativas de pesquisas corretamente ponderadas.
⚠️ Os pesos devem somar um total com sentido
A fórmula divide por (\sum w_i), então os pesos não precisam somar 1 nem 100. Porém, certifique-se de que os pesos refletem a importância relativa real. Um erro comum é usar contagens como pesos quando o que se quer são pesos proporcionais, ou o contrário.
Média geométrica
A média geométrica é a média adequada quando se trabalha com valores que se multiplicam entre si, como taxas de crescimento, razões ou índices. É definida como a raiz \(k\)-ésima do produto de \(k\) valores:
\[\bar{x}_g = \left(\prod_{i=1}^k x_i\right)^{\frac{1}{k}}.\]
Uma fórmula equivalente e muitas vezes mais prática usa logaritmos:
\[\bar{x}_g = \exp\left(\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \ln(x_i)\right).\]
Um investimento cresce 5%, 10% e 20% em três anos consecutivos. Qual é a taxa média de crescimento anual?
Convertendo em multiplicadores: \(x = (1{,}05,\ 1{,}10,\ 1{,}20)\).
\[\bar{x}_g = (1{,}05 \times 1{,}10 \times 1{,}20)^{1/3} = 1{,}386^{1/3} \approx 1{,}1154.\]
A taxa média de crescimento anual é de aproximadamente 11,54%.
Para verificar: \(1{,}05 \times 1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}386\), e \(1{,}1154^3 \approx 1{,}386\). Correto.
Usando a média aritmética em vez disso, obteríamos \((1{,}05 + 1{,}10 + 1{,}20)/3 = 1{,}1167\), ou seja, 11,67%. A média aritmética sobrestima ligeiramente o crescimento composto.
⚠️ A média geométrica exige valores positivos
A média geométrica só é definida quando todos os valores são positivos. Se algum valor for zero ou negativo, a fórmula deixa de funcionar. Ao trabalhar com taxas de crescimento, certifique-se de usar multiplicadores (por exemplo, 1,05 para um crescimento de 5%), não porcentagens diretas.
