Média ponderada
A média aritmética trata todas as observações como igualmente importantes. A média ponderada a generaliza permitindo que cada valor conte em proporção a um peso \(w_i\), o que importa sempre que as observações realmente não têm a mesma importância, tamanho ou confiabilidade.
A fórmula
A média ponderada substitui a soma simples da média aritmética por uma soma ponderada, e divide pela soma dos pesos em vez da contagem:
\[\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\]
A média aritmética comum é o caso particular em que todos os \(w_i\) são iguais: os pesos se cancelam completamente na fórmula, deixando o promédio simples. Os pesos não precisam somar 1 nem 100, já que a fórmula divide pelo seu total; só importa o tamanho relativo deles.
Exemplo resolvido: o retorno ponderado de uma carteira
Tamanhos tão diferentes são exatamente onde a média ponderada e a média sem ponderação mais se distanciam.
Um investidor mantém quatro posições. Cada uma tem seu próprio retorno no ano, mas as posições estão longe de ter o mesmo tamanho, então uma média simples dos quatro retornos representaria mal o desempenho real da carteira.
| Investimento | Quantia investida | Retorno |
|---|---|---|
| A | US$ 10.000 | 8% |
| B | US$ 25.000 | -3% |
| C | US$ 5.000 | 15% |
| D | US$ 60.000 | 5% |
Ponderando cada retorno pela quantia em dólares por trás dele:
\[\bar{x}_w = \frac{10000(8) + 25000(-3) + 5000(15) + 60000(5)}{10000+25000+5000+60000} = \frac{380000}{100000} = 3{,}8\%\]
A média simples, sem ponderação, dos quatro retornos é \((8 - 3 + 15 + 5)/4 = 6{,}25\%\), visivelmente mais alta. O valor sem ponderação é inflado pelo retorno de 15% da posição menor (US$ 5.000) e ignora que o maior peso negativo, o retorno de -3%, está na segunda maior posição (US$ 25.000). A média ponderada de 3,8% é o número que de fato descreve o que aconteceu com o dinheiro do investidor.
O preenchimento de cada barra mostra quanto dinheiro está por trás de cada retorno. A média ponderada (vermelho) fica bem abaixo da média sem ponderação (azul), puxada para baixo pela posição B, grande e com retorno negativo, exatamente a posição que uma média sem ponderação subestimaria.
Por que ignorar os pesos é um erro real
Tratar grupos de tamanhos desiguais como se tivessem o mesmo tamanho não é uma simplificação inofensiva; pode inverter completamente a conclusão prática.
⚠️ Calcular a média de taxas entre grupos de tamanhos diferentes
Suponha que três regiões registrem taxas de desemprego de 4%, 9% e 12%, com populações de 2.000.000, 500.000 e 100.000 habitantes, respectivamente. A média simples, sem ponderação, das três taxas é \((4+9+12)/3 = 8{,}33\%\). A taxa nacional ponderada pela população é \(5{,}27\%\), quase 3 pontos menor, porque a média sem ponderação dá silenciosamente à região menor (100.000 habitantes) a mesma influência da região maior (2.000.000 habitantes), vinte vezes a sua participação real. Sempre que você calcular a média de uma taxa, uma porcentagem ou uma proporção entre grupos, pergunte-se qual era o tamanho desses grupos e se uma média simples os está tratando como iguais sem você perceber.
Fazendo isso em R
A função weighted.mean() do R recebe os valores e os pesos diretamente, sem precisar implementar a fórmula manualmente:
amount <- c(10000, 25000, 5000, 60000)
ret <- c(8, -3, 15, 5)
weighted.mean(ret, amount) # 3.8, ponderada pela quantia investida
mean(ret) # 6.25, média simples sem ponderação💡 Onde a média ponderada aparece na prática
Além dos retornos de carteiras, a média ponderada está em todo lugar quando você procura: os índices de preços ao consumidor calculam a média das variações de preços entre bens ponderados por quanto de cada um uma família típica compra; a média de um histórico acadêmico pondera as notas de cada disciplina pela sua carga de créditos; estatísticos de pesquisas aplicam pesos para corrigir grupos que responderam menos do que correspondia à sua participação real na população; e a variância também tem sua própria versão ponderada, usada sempre que as observações de partida são médias de grupos com tamanhos amostrais diferentes, em vez de medições individuais brutas.
