Quantis em estatística

Os quantis dividem um conjunto de dados ordenado em partes iguais. Eles indicam não apenas onde está o centro, mas como os dados se distribuem ao longo de toda a amplitude. Quartis, decis e percentis são todos quantis, apenas com números diferentes de divisões.

Definição

Um quantil de ordem \(p\) (em que \(0 < p < 1\)) é o valor \(q_p\) que divide os dados ordenados de forma que pelo menos uma fração \(p\) das observações fique nele ou abaixo dele, e pelo menos uma fração \(1-p\) fique nele ou acima dele.

Em termos simples: o quantil \(q_p\) é o valor abaixo do qual está \(p \times 100\%\) dos dados.

As três famílias de quantis mais comuns são:

• Quartis: dividem os dados em 4 partes iguais (3 pontos de corte).
• Decis: dividem os dados em 10 partes iguais (9 pontos de corte).
• Percentis: dividem os dados em 100 partes iguais (99 pontos de corte).

Não são conceitos diferentes, são a mesma ideia aplicada em resoluções diferentes. O percentil 25 é o mesmo que o primeiro quartil \(Q_1\). O percentil 50 é o mesmo que o segundo quartil \(Q_2\) e a mediana.

Figure 1: Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais

Quartis

Os quartis são os três valores \(Q_1\), \(Q_2\) e \(Q_3\) que dividem os dados ordenados em quatro partes de tamanho igual.

• \(Q_1\) (primeiro quartil, percentil 25): 25% dos dados fica abaixo deste valor.
• \(Q_2\) (segundo quartil, percentil 50): coincide com a mediana.
• \(Q_3\) (terceiro quartil, percentil 75): 75% dos dados fica abaixo deste valor.

A diferença \(Q_3 - Q_1\) é chamada de amplitude interquartil (IQR). Ela mede a dispersão dos 50% centrais dos dados e é uma das medidas de dispersão mais robustas.

Figure 2: Um boxplot visualiza os quartis: a caixa vai de Q1 a Q3, a linha interna é Q2

Decis

Os decis são os 9 valores \(d_1, d_2, \dots, d_9\) que dividem os dados ordenados em 10 partes iguais. Cada decil corresponde a um múltiplo de 10% da distribuição.

O quinto decil coincide com o segundo quartil e a mediana: \(d_5 = Q_2 = Me\).

Decis na prática: notas de uma prova

Uma turma de 30 alunos faz uma prova. As notas ordenadas vão de 41 a 98. Os decis dividem essa amplitude em 10 grupos de igual frequência (3 alunos cada um):

• \(d_1 = 48\): 10% dos alunos tiraram menos de 48.
• \(d_3 = 61\): 30% tiraram menos de 61.
• \(d_5 = 72\): metade da turma tirou menos de 72 (que também é a mediana).
• \(d_9 = 94\): 90% tiraram menos de 94, então apenas 3 alunos estão nos 10% do topo.

Um aluno que tirou 72 está exatamente na mediana. Um que tirou 94 está no decil mais alto.

Percentis

Os percentis dividem os dados em 100 partes iguais. O percentil \(k\), \(p_k\), é o valor abaixo do qual fica \(k\%\) das observações.

São a família mais granular das três e são amplamente usados para comparar a posição de um indivíduo dentro de uma população de referência.

Percentis nas curvas de crescimento pediátrico

Quando um médico mede a altura e o peso de uma criança, o resultado é expresso como um percentil em relação a uma população de referência de crianças da mesma idade e sexo:

• Uma criança no percentil 50 de altura é mais alta do que exatamente metade das crianças da sua idade.
• Uma criança no percentil 97 é mais alta do que 97% dos seus pares, o que pode exigir acompanhamento.
• Uma criança abaixo do percentil 3 é mais baixa do que 97% dos seus pares.

Os limiares do percentil 3 e do percentil 97 são referências clínicas padrão justamente porque são fáceis de interpretar: representam o 3% extremo em cada ponta da distribuição.

Figure 3: Faixas de percentis: cada faixa contém 1% dos dados

Como calcular os quantis

A fórmula geral para a posição do \(k\)-ésimo quantil em um conjunto de dados ordenado de tamanho \(n\), com \(m\) partes no total, é:

\[q_k = \frac{k(n+1)}{m}\]

Se o resultado for um inteiro \(i\), o quantil é \(x_i\). Se cair entre duas posições \(i\) e \(i+1\), interpola-se:

\[q_k = x_i + (pos - i)(x_{i+1} - x_i)\]

Passo a passo: Q1 para 10 valores

Conjunto de dados: (55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100) ((n = 10), já ordenado).

Posição de \(Q_1\) (\(k=1\), \(m=4\)): \[pos = \frac{1 \times (10+1)}{4} = 2{,}75\]

A posição cai entre o 2º valor (60) e o 3º valor (65). Interpolando: \[Q_1 = 60 + 0{,}75 \times (65 - 60) = 60 + 3{,}75 = 63{,}75\]

Referência rápida