Teste qui-quadrado de Pearson
O teste qui-quadrado de Pearson determina se duas variáveis categóricas estão associadas ou se a distribuição delas pelas categorias é o que seria esperado por acaso. É um dos testes mais usados em estatística, aparecendo em tudo, desde ensaios clínicos até pesquisas de mercado.
O que é o teste qui-quadrado de Pearson?
Quando você tem duas variáveis categóricas e quer saber se elas estão relacionadas, o teste qui-quadrado é a ferramenta padrão. A ideia é simples: se não há associação entre as variáveis, a distribuição de uma deveria ser aproximadamente a mesma em todas as categorias da outra. O teste compara o que você realmente observou com o que seria esperado sob essa suposição de independência.
A estatística do teste é:
\[ \chi^2 = \sum_{i} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]
em que \(O_i\) é a frequência observada na célula \(i\) e \(E_i\) é a frequência esperada sob a hipótese nula de independência.
Sob a hipótese nula, essa estatística segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade:
\[df = (r - 1)(c - 1)\]
em que \(r\) é o número de linhas e \(c\) é o número de colunas na tabela de contingência.
Hipóteses
- \(H_0\): as duas variáveis são independentes (não há associação).
- \(H_1\): as duas variáveis estão associadas.
O teste é sempre unilateral no sentido de que valores grandes de \(\chi^2\) (quando as frequências observadas são muito diferentes das esperadas) levam à rejeição de \(H_0\).
Frequências esperadas
Sob a hipótese nula de independência, a frequência esperada para cada célula é:
\[E_{ij} = \frac{\text{Total da linha}_i \times \text{Total da coluna}_j}{n}\]
em que \(n\) é o tamanho total da amostra. Essa fórmula vem diretamente da definição de independência em probabilidade: se \(X\) e \(Y\) são independentes, \(P(X = i, Y = j) = P(X = i) \cdot P(Y = j)\).
Exemplo passo a passo
Um estudo de saúde pública coleta dados de 200 pessoas, registrando se elas fumam e se desenvolveram câncer de pulmão:
| Câncer de pulmão: Sim | Câncer de pulmão: Não | Total da linha | |
|---|---|---|---|
| Fumante | 70 | 30 | 100 |
| Não fumante | 20 | 80 | 100 |
| Total da coluna | 90 | 110 | 200 |
Figure 1: Frequências observadas: fumantes apresentam uma proporção de casos de câncer de pulmão muito maior do que não fumantes
Passo 1: calcular as frequências esperadas.
\[E_{11} = \frac{100 \times 90}{200} = 45, \quad E_{12} = \frac{100 \times 110}{200} = 55\]
\[E_{21} = \frac{100 \times 90}{200} = 45, \quad E_{22} = \frac{100 \times 110}{200} = 55\]
| Câncer: Sim | Câncer: Não | |
|---|---|---|
| Fumante | \(O=70\), \(E=45\) | \(O=30\), \(E=55\) |
| Não fumante | \(O=20\), \(E=45\) | \(O=80\), \(E=55\) |
Passo 2: calcular a estatística do teste.
\[\chi^2 = \frac{(70-45)^2}{45} + \frac{(30-55)^2}{55} + \frac{(20-45)^2}{45} + \frac{(80-55)^2}{55}\]
\[\chi^2 = \frac{625}{45} + \frac{625}{55} + \frac{625}{45} + \frac{625}{55} = 13{,}89 + 11{,}36 + 13{,}89 + 11{,}36 = 50{,}50\]
Passo 3: determinar os graus de liberdade e o valor crítico.
\[df = (2-1)(2-1) = 1\]
Para \(df = 1\) e um nível de significância de \(\alpha = 0{,}05\), o valor crítico é \(\chi^2_{0{,}05,\, 1} = 3{,}84\).
Passo 4: conclusão.
Como \(50{,}50 \gg 3{,}84\), rejeitamos \(H_0\). Há evidência estatística forte de uma associação entre o tabagismo e a incidência de câncer de pulmão.
Figure 2: Distribuição qui-quadrado com 1 gl: a estatística observada (50,5) cai bem dentro da região de rejeição
Um segundo exemplo: preferência de produto por gênero
Uma equipe de marketing entrevista 150 clientes sobre seu produto preferido (A, B ou C), divididos por gênero:
| Produto A | Produto B | Produto C | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Homem | 30 | 25 | 20 | 75 |
| Mulher | 20 | 35 | 20 | 75 |
| Total | 50 | 60 | 40 | 150 |
Frequências esperadas (ex.: \(E_{11} = 75 \times 50 / 150 = 25\)):
| Produto A | Produto B | Produto C | |
|---|---|---|---|
| Homem | 25 | 30 | 20 |
| Mulher | 25 | 30 | 20 |
\[\chi^2 = \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(25-30)^2}{30} + \frac{(20-20)^2}{20} + \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(35-30)^2}{30} + \frac{(20-20)^2}{20}\]
\[\chi^2 = 1{,}00 + 0{,}83 + 0 + 1{,}00 + 0{,}83 + 0 = 3{,}67\]
\[df = (2-1)(3-1) = 2, \quad \chi^2_{0{,}05,\, 2} = 5{,}99\]
Como \(3{,}67 < 5{,}99\), não rejeitamos \(H_0\). Não há evidência significativa de que a preferência de produto dependa do gênero nesta amostra.
Não rejeitar a hipótese nula não significa que as variáveis sejam definitivamente independentes. Significa que os dados não fornecem evidência suficiente para concluir que estão associadas, dados o tamanho da amostra e o nível de significância escolhidos. Com uma amostra maior, o mesmo padrão de diferenças poderia se tornar estatisticamente significativo.
Suposições e limitações
A aproximação qui-quadrado usada acima só é válida sob uma condição específica sobre as contagens esperadas, e vale a pena verificá-la antes de confiar no resultado.
⚠️ A regra da frequência esperada: mínimo de 5 por célula
O teste qui-quadrado de Pearson exige que todas as frequências esperadas sejam de pelo menos 5. Se alguma célula tiver frequência esperada abaixo de 5, a aproximação qui-quadrado deixa de funcionar e o p-valor se torna pouco confiável. Nesse caso, use o teste exato de Fisher, que é válido para qualquer tamanho de amostra e é a escolha padrão para amostras pequenas ou tabelas com células esparsas.
Outras suposições a verificar:
- Independência das observações: cada indivíduo deve aparecer em exatamente uma célula. Dados pareados ou de medidas repetidas exigem testes diferentes.
- Amostragem aleatória: os dados devem vir de uma amostra aleatória da população de interesse.
- Variáveis categóricas: o qui-quadrado funciona com categorias nominais ou ordinais, não com medições contínuas.
⚠️ Associação não é causalidade
Um teste qui-quadrado significativo indica que as duas variáveis estão associadas na sua amostra. Ele não diz nada sobre a direção do efeito, o tamanho do efeito, ou se uma variável causa a outra. No exemplo do tabagismo e do câncer de pulmão, o teste confirma a associação, mas o vínculo causal exige evidência muito mais forte vinda do desenho do estudo, não apenas da estatística do teste.
💡 Medindo a força da associação
A estatística qui-quadrado indica se existe uma associação, mas não a sua força. Para tabelas 2×2, use o phi (\(\phi\)): \(\phi = \sqrt{\chi^2 / n}\), que varia de 0 a 1. Para tabelas maiores, use o V de Cramér: \(V = \sqrt{\chi^2 / (n \cdot \min(r-1, c-1))}\). Ambos medem o tamanho do efeito de forma independente do tamanho da amostra.
