V de Cramér

O teste qui-quadrado de Pearson indica se uma associação entre duas variáveis categóricas é estatisticamente significativa. A V de Cramér indica o quão forte é essa associação. Você precisa das duas.

Definição

A V de Cramér é uma medida da força de associação entre duas variáveis categóricas. É derivada da estatística qui-quadrado e normalizada para que fique sempre entre 0 e 1, independentemente do tamanho da tabela de contingência:

• \(V = 0\): nenhuma associação entre as variáveis.
• \(V = 1\): associação perfeita (conhecer uma variável determina completamente a outra).

O denominador \(\min(r, c) - 1\) ajusta a estatística adequadamente para tabelas de tamanhos diferentes, e é por isso que a V de Cramér é preferível a medidas mais simples quando a tabela tem mais de duas categorias em qualquer uma das dimensões.

Interpretação

Cohen (1988) propôs critérios para interpretar a V de Cramér que dependem dos graus de liberdade \(df = \min(r,c) - 1\):

Esses limiares importam porque um \(V = 0{,}25\) em uma tabela 2×2 é um efeito médio-grande, enquanto o mesmo valor em uma tabela 5×5 é um efeito grande. Usar um único limiar universal para todos os tamanhos de tabela é incorreto.

Figure 1: V de Cramér para tabelas de contingência simuladas: de associação quase nula (azul) a associação forte (vermelho)

Exemplo passo a passo

Usando os dados de tabagismo e câncer de pulmão do post sobre qui-quadrado:

Do cálculo anterior, \(\chi^2 = 50{,}50\), \(n = 200\), \(r = 2\), \(c = 2\).

\[V = \sqrt{\frac{50{,}50}{200 \cdot (\min(2,2) - 1)}} = \sqrt{\frac{50{,}50}{200 \cdot 1}} = \sqrt{0{,}2525} \approx 0{,}502\]

Para uma tabela 2×2 (\(df = 1\)), os critérios de Cohen são: pequeno = 0,10, médio = 0,30, grande = 0,50. Um valor de \(V \approx 0{,}50\) indica uma associação grande entre o tabagismo e o câncer de pulmão nessa amostra.

Exemplo 2: nível educacional e preferência de voto

Uma pesquisa com 300 eleitores registra o nível educacional (3 categorias) e o partido político preferido (4 categorias). Depois de construir a tabela de contingência, a estatística qui-quadrado é \(\chi^2 = 24{,}7\).

\[V = \sqrt{\frac{24{,}7}{300 \cdot (\min(3,4) - 1)}} = \sqrt{\frac{24{,}7}{300 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{24{,}7}{600}} \approx 0{,}203\]

Para uma tabela 3×4 (\(df = \min(3,4) - 1 = 2\)), os critérios de Cohen são: pequeno = 0,07, médio = 0,21, grande = 0,35. Um valor de \(V \approx 0{,}20\) está próximo do efeito médio, sugerindo uma associação moderada entre o nível educacional e a preferência de voto.

Coeficiente phi vs V de Cramér

O coeficiente phi (\(\phi\)) é o caso especial da V de Cramér para tabelas 2×2:

\[\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}\]

Para tabelas 2×2, \(\min(r,c) - 1 = 1\), então \(\phi = V\). Para tabelas maiores que 2×2, phi deixa de ser limitado por 1 e perde sua interpretabilidade. A V de Cramér generaliza corretamente o coeficiente phi para qualquer tamanho de tabela.