Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias

O intervalo de confiança para \(\mu_1 - \mu_2\) estima o intervalo de valores plausíveis para a verdadeira diferença entre duas médias populacionais. Usar a abordagem combinada (pooled) ou a de Welch depende de ser possível assumir que as variâncias populacionais são iguais.

Configuração

Temos duas amostras aleatórias independentes (se as duas amostras forem na verdade os mesmos sujeitos medidos duas vezes, use o IC pareado em vez deste, ele é mais poderoso):

• Grupo 1: \(n_1\) observações, média amostral \(\bar{X}_1\), variância amostral \(S_1^2\).
• Grupo 2: \(n_2\) observações, média amostral \(\bar{X}_2\), variância amostral \(S_2^2\).

A estimativa pontual de \(\mu_1 - \mu_2\) é \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\). O IC tem a forma:

As duas abordagens diferem em como calculam o EP e os graus de liberdade para \(t^*\).

Intervalo de Welch (variâncias desiguais)

Quando as variâncias populacionais podem diferir, use o intervalo \(t\) de Welch:

Os graus de liberdade são dados pela aproximação de Satterthwaite:

\[gl = \frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}\]

Esse valor é sempre não inteiro e deve ser arredondado para baixo. O intervalo de Welch é o padrão no R (t.test()) e na maioria dos softwares estatísticos.

Intervalo combinado (variâncias iguais)

Quando se pode assumir que as variâncias populacionais são iguais (\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\)), combine as duas variâncias amostrais em uma única estimativa:

O intervalo combinado é levemente mais estreito do que o de Welch quando as variâncias são realmente iguais, mas pode ser enganoso quando diferem.

Visualizando os dois grupos

O painel direito mostra a distribuição amostral da diferença \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\). A linha vermelha tracejada em 0 representa “nenhuma diferença”. Como 0 cai fora do IC de 95%, a diferença é estatisticamente significativa no nível de 5%.

Exemplo passo a passo

Um ensaio clínico compara duas dietas durante 6 meses:

• Dieta A: \(n_1 = 30\), \(\bar{x}_1 = 8{,}0\) kg, \(S_1 = 2{,}0\) kg.
• Dieta B: \(n_2 = 25\), \(\bar{x}_2 = 6{,}0\) kg, \(S_2 = 1{,}73\) kg.

Construa um IC de 95% para \(\mu_A - \mu_B\).

Passo 1: calcule a estimativa pontual.

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 8{,}0 - 6{,}0 = 2{,}0 \text{ kg}\]

Passo 2: calcule o EP de Welch.

\[\text{EP} = \sqrt{\frac{4{,}0}{30} + \frac{3{,}0}{25}} = \sqrt{0{,}1333 + 0{,}1200} = \sqrt{0{,}2533} \approx 0{,}503 \text{ kg}\]

Passo 3: graus de liberdade de Satterthwaite.

\[gl = \frac{0{,}2533^2}{\frac{(0{,}1333)^2}{29} + \frac{(0{,}1200)^2}{24}} = \frac{0{,}0641}{\frac{0{,}01777}{29} + \frac{0{,}0144}{24}} \approx \frac{0{,}0641}{0{,}000613 + 0{,}000600} \approx 52{,}8 \to 52\]

Passo 4: valor crítico.

\[t_{0{,}025,\; 52} \approx 2{,}007\]

Passo 5: construa o IC.

\[\text{IC} = 2{,}0 \pm 2{,}007 \times 0{,}503 = 2{,}0 \pm 1{,}01 = (0{,}99;\; 3{,}01) \text{ kg}\]

O IC não inclui o 0, logo há uma diferença estatisticamente significativa. A Dieta A produz entre 0,99 e 3,01 kg mais de perda de peso do que a Dieta B, em média, com 95% de confiança.

Combinado vs. Welch: quando diferem

Mesmos dados acima, mas agora assumindo variâncias iguais para a abordagem combinada:

\[S_p^2 = \frac{29 \times 4{,}0 + 24 \times 3{,}0}{53} = \frac{116 + 72}{53} = \frac{188}{53} \approx 3{,}547\]

\[\text{EP}_p = \sqrt{3{,}547 \times (1/30 + 1/25)} = \sqrt{3{,}547 \times 0{,}0733} \approx 0{,}510 \text{ kg}\]

\[gl_p = 53, \quad t_{0{,}025,\; 53} \approx 2{,}006\]

\[\text{IC}_{\text{combinado}} = 2{,}0 \pm 2{,}006 \times 0{,}510 = (0{,}978;\; 3{,}022)\]

Nesse caso, os dois intervalos são quase idênticos porque \(S_1^2 \approx S_2^2\). Quando as variâncias diferem substancialmente, a diferença entre os intervalos de Welch e combinado pode ser grande.