Intervalo de confiança para a razão de variâncias
O intervalo de confiança para \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) usa a distribuição F e é sempre assimétrico: o limite superior está mais distante da razão observada do que o limite inferior. Ele é usado para comparar a variabilidade de dois processos independentes (estendendo o IC de variância única para dois grupos) e para verificar a suposição de igualdade de variâncias antes de um teste \(t\) combinado (pooled).
Fórmula
Dadas duas amostras independentes com variâncias amostrais \(S_1^2\) (\(n_1\) observações) e \(S_2^2\) (\(n_2\) observações), a estatística:
\[F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,\; n_2-1)\]
Invertendo esse pivô, obtém-se um IC \((1-\alpha)\) para \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\):
\[\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{1-\alpha/2,\; n_1-1,\; n_2-1}},\;\; \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2,\; n_1-1,\; n_2-1}}\right)\]
Observe a ordem: o valor crítico F maior (\(F_{1-\alpha/2}\)) divide o limite inferior, e o menor (\(F_{\alpha/2}\)) divide o limite superior.
A relação recíproca da distribuição F dá: \(F_{\alpha/2,\; d_1,\; d_2} = 1/F_{1-\alpha/2,\; d_2,\; d_1}\), o que é útil quando só se dispõe de tabelas da cauda superior da F.
⚠️ O teste F para variâncias é extremamente sensível à não normalidade
Diferentemente do teste \(t\) para médias (que é bastante robusto à não normalidade graças ao TCL), o teste F para variâncias não é robusto. Dados não normais podem produzir estatísticas F altamente significativas mesmo quando as variâncias populacionais são iguais, e vice-versa.
Se a normalidade for questionável:
- Use o teste de Levene (baseado em desvios absolutos em relação à mediana): robusto à não normalidade, disponível no R como
leveneTest()do pacotecar. - Use o teste de Bartlett para dados normais, Levene ou Fligner-Killeen para dados não normais.
- Para o próprio IC, considere um intervalo de confiança bootstrap para a razão.
Distribuição F e o IC
A distribuição F é assimétrica à direita e sempre positiva. O IC de 95% para a razão de variâncias é definido pelos dois valores críticos que deixam 2,5% em cada cauda. A razão observada \(S_1^2/S_2^2\) (linha verde) cai dentro da região central neste exemplo, confirmando que 1 está dentro do IC.
Exemplo passo a passo
Um engenheiro de qualidade compara a consistência de duas linhas de produção. Linha 1 (\(n_1 = 15\)) tem \(S_1^2 = 4{,}0\) mm² e Linha 2 (\(n_2 = 12\)) tem \(S_2^2 = 2{,}0\) mm². Construa um IC de 95% para \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\).
Passo 1: calcule a razão observada.
\[F_{\text{obs}} = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{4{,}0}{2{,}0} = 2{,}0\]
Passo 2: encontre os valores críticos F com \(gl_1 = 14\), \(gl_2 = 11\).
\[F_{0{,}975,\; 14,\; 11} = 3{,}095, \qquad F_{0{,}025,\; 14,\; 11} = 0{,}305\]
No R: qf(0.975, 14, 11) e qf(0.025, 14, 11).
Passo 3: calcule os limites.
\[\text{Inferior} = \frac{2{,}0}{3{,}095} \approx 0{,}646, \qquad \text{Superior} = \frac{2{,}0}{0{,}305} \approx 6{,}557\]
\[\text{IC de 95\% para } \sigma_1^2/\sigma_2^2: (0{,}65;\; 6{,}56)\]
Como o IC inclui o 1, não há evidência significativa de que as duas linhas difiram em variabilidade no nível de 5%. Porém, o intervalo amplo reflete os tamanhos de amostra limitados: a Linha 1 poderia ter entre 65% e 656% da variância da Linha 2.
O limite superior se estende mais distante de \(F_\text{obs}\) do que o limite inferior em todos os casos: a assimetria da distribuição F faz com que esse IC seja sempre assimétrico, e isso é mais pronunciado para amostras menores.
Uma empresa farmacêutica compara a variabilidade de lote a lote de dois processos de fabricação. Processo A (\(n_1 = 30\), \(S_1^2 = 12{,}4\)) vs. Processo B (\(n_2 = 30\), \(S_2^2 = 4{,}1\)).
\[F_\text{obs} = 12{,}4/4{,}1 \approx 3{,}02\]
\[F_{0{,}975,\; 29,\; 29} \approx 2{,}101, \quad F_{0{,}025,\; 29,\; 29} \approx 0{,}476\]
\[\text{IC} = \left(\frac{3{,}02}{2{,}101},\; \frac{3{,}02}{0{,}476}\right) = (1{,}44;\; 6{,}34)\]
O IC exclui 1: o Processo A é significativamente mais variável do que o Processo B. A razão está entre 1,44 e 6,34, o que significa que o Processo A tem entre 44% e 534% mais variância do que o Processo B.
💡 Diretrizes práticas
- O IC para uma razão de variâncias é mais útil para verificar a suposição de igualdade de variâncias antes de um teste \(t\) combinado. Se 1 estiver dentro do IC, o teste combinado é defensável; se 1 estiver fora, use Welch.
- Para comparar variâncias como objetivo principal (não apenas como verificação de uma suposição), o teste de Levene é preferido por sua robustez à não normalidade.
- No R:
var.test(x, y)calcula tanto a estatística F quanto seu IC.car::leveneTest(y ~ group)oferece a alternativa robusta. - O IC só é válido quando ambas as populações são normais. Para dados não normais, aplique bootstrap diretamente à razão \(S_1^2/S_2^2\).
