Intervalo de confiança para a variância de uma distribuição normal
O intervalo de confiança para uma variância populacional usa a distribuição qui-quadrado, não a normal nem a \(t\), construído em torno da variância amostral \(S^2\) como estimativa pontual. Como a distribuição qui-quadrado é assimétrica à direita, o intervalo é assimétrico: o limite superior está sempre mais distante de \(S^2\) do que o limite inferior. Para comparar a variabilidade de dois grupos em vez de um, veja o IC para a razão de duas variâncias.
Fórmula
Se a população é normal e observamos uma amostra de tamanho \(n\) com variância amostral \(S^2\), então:
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\]
Invertendo esse pivô, obtém-se um intervalo de confiança \((1-\alpha)\) para \(\sigma^2\):
\[\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\; n-1}},\;\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\; n-1}}\right)\]
Observe a ordem dos valores críticos: o maior valor qui-quadrado (\(\chi^2_{1-\alpha/2}\)) vai no denominador do limite inferior, e o menor (\(\chi^2_{\alpha/2}\)) vai no denominador do limite superior.
Para um intervalo de confiança para o desvio padrão \(\sigma\), tome a raiz quadrada de ambos os extremos.
⚠️ O IC para a variância não é simétrico em torno de S²
O IC para uma média é simétrico: de \(\bar{x} - \text{ME}\) a \(\bar{x} + \text{ME}\). O IC para a variância não é: o limite superior se estende mais acima de \(S^2\) do que o limite inferior se estende abaixo dele.
Essa assimetria vem diretamente da assimetria à direita da distribuição qui-quadrado. Para \(n\) pequeno, a assimetria é substancial. Por exemplo, com \(n = 10\) e \(S^2 = 25\):
- Limite inferior: \((9 \times 25)/19{,}02 \approx 11{,}8\), que está \(13{,}2\) abaixo de \(S^2\).
- Limite superior: \((9 \times 25)/2{,}70 \approx 83{,}3\), que está \(58{,}3\) acima de \(S^2\).
O limite superior está mais de quatro vezes mais distante de \(S^2\) do que o limite inferior.
Distribuição qui-quadrado e valores críticos
Exemplos passo a passo
Exemplo 1: precisão de um instrumento de medição
Um laboratório de calibração testa um manômetro 20 vezes sob condições idênticas. A variância amostral das leituras é \(S^2 = 4{,}2\) bar². Construa um IC de 95% para a variância populacional.
Passo 1: identifique os ingredientes.
\[n = 20, \quad S^2 = 4{,}2, \quad gl = 19, \quad \alpha = 0{,}05\]
Passo 2: encontre os valores críticos na tabela qui-quadrado.
\[\chi^2_{0{,}975,\; 19} = 32{,}85, \qquad \chi^2_{0{,}025,\; 19} = 8{,}91\]
Passo 3: calcule os limites.
\[\text{Inferior} = \frac{19 \times 4{,}2}{32{,}85} = \frac{79{,}8}{32{,}85} \approx 2{,}43 \text{ bar}^2\]
\[\text{Superior} = \frac{19 \times 4{,}2}{8{,}91} = \frac{79{,}8}{8{,}91} \approx 8{,}96 \text{ bar}^2\]
\[\text{IC de 95\% para } \sigma^2: (2{,}43;\; 8{,}96) \text{ bar}^2\]
Para o desvio padrão: \((\sqrt{2{,}43};\; \sqrt{8{,}96}) = (1{,}56;\; 2{,}99)\) bar.
Exemplo 2: consistência do peso em embalagens
Um fabricante de alimentos amostra 15 embalagens. Os pesos (em gramas) dão \(S^2 = 6{,}8\) g². Construa um IC de 99% para \(\sigma^2\).
\[gl = 14, \quad \chi^2_{0{,}995,\; 14} = 31{,}32, \quad \chi^2_{0{,}005,\; 14} = 4{,}07\]
\[\text{Inferior} = \frac{14 \times 6{,}8}{31{,}32} \approx 3{,}04 \text{ g}^2, \qquad \text{Superior} = \frac{14 \times 6{,}8}{4{,}07} \approx 23{,}39 \text{ g}^2\]
\[\text{IC de 99\% para } \sigma^2: (3{,}04;\; 23{,}39) \text{ g}^2\]
O intervalo amplo reflete tanto o pequeno tamanho de amostra (\(n=15\)) quanto o alto nível de confiança (99%).
O limite superior (laranja) está sempre mais distante de \(S^2\) do que o limite inferior (azul), e a assimetria é mais pronunciada em amostras pequenas.
⚠️ A suposição de normalidade é crítica aqui
Diferentemente do IC para uma média (que é robusto à não normalidade graças ao TCL), o IC para a variância derivado da distribuição qui-quadrado é sensível a desvios da normalidade. Para populações não normais, esse intervalo pode estar substancialmente incorreto mesmo para amostras grandes.
Se a normalidade for questionável, considere:
- Testar a normalidade antes de aplicar a fórmula.
- Usar um IC bootstrap para a variância, que não assume normalidade.
- Reportar \(S^2\) com um intervalo de confiança bootstrap quando os dados forem claramente assimétricos.
💡 Conexão com testes de hipóteses
Um IC \((1-\alpha)\) para \(\sigma^2\) está diretamente conectado ao teste qui-quadrado para a variância. Se o valor hipotético \(\sigma^2_0\) cair fora do IC, o teste \(H_0: \sigma^2 = \sigma^2_0\) é rejeitado no nível \(\alpha\). Se cair dentro, \(H_0\) não é rejeitada.
Essa dualidade significa que o IC carrega toda a informação do teste de hipóteses, e também mostra em que medida o valor hipotético é plausível ou implausível.
