Combinações
Uma combinação conta o número de formas de escolher \(r\) itens de um conjunto de \(n\), quando a ordem da seleção não importa. É a ferramenta de contagem fundamental em probabilidade, usada sempre que você precisa contar subconjuntos, grupos ou seleções não ordenadas.
Definição
O número de formas de escolher \(r\) itens de \(n\) itens distintos, sem repetição e sem considerar a ordem, é o coeficiente binomial:
\[\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\]
Também escrito \(C(n,r)\) ou \(C_n^r\). Aqui \(n!\) (n fatorial) é o produto de todos os inteiros positivos até \(n\): \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), com \(0! = 1\) por convenção.
De quantas formas um comitê de 5 pessoas pode ser formado a partir de um departamento de 12 funcionários?
\[\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!\,7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792\]
Há 792 comitês possíveis. A ordem em que os membros são escolhidos não importa: {Ana, Bruno, Carla, Diego, Elisa} é o mesmo comitê independentemente da ordem de seleção.
Combinações vs. permutações
A pergunta-chave é sempre: a ordem importa?
- A ordem não importa: use combinações. Formar uma equipe, escolher um subconjunto, receber uma mão de cartas.
- A ordem importa: use permutações. Classificar candidatos, atribuir funções, organizar objetos em uma sequência.
A relação entre as duas:
\[P(n,r) = \binom{n}{r} \times r!\]
Cada combinação de \(r\) itens pode ser organizada em \(r!\) ordens diferentes, dando o número de permutações. Dividir por \(r!\) remove a ordenação e dá a contagem de combinações.
⚠️ O erro mais comum: usar permutações quando a ordem não importa
Se 3 pessoas são escolhidas entre 10 para formar um comitê, a resposta é \(\binom{10}{3} = 120\), não \(P(10,3) = 720\). Usar permutações sobrestima por um fator de \(3! = 6\) porque conta {A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,B,A} como seis resultados diferentes quando todos são o mesmo comitê.
Pergunte-se antes de calcular: se eu trocar a ordem dos itens selecionados, obtenho um resultado diferente? Se não, use combinações.
Propriedades
- Simetria
\[\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\]
Escolher \(r\) itens para incluir é equivalente a escolher \(n-r\) itens para excluir. Por exemplo, \(\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120\). Use o menor entre \(r\) e \(n-r\) nos cálculos para minimizar a aritmética.
- Valores de fronteira
\[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\]
Há exatamente uma forma de não escolher nada, e exatamente uma forma de escolher tudo.
- Identidade de Pascal
\[\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\]
Cada combinação ou inclui um item específico (os \(r-1\) restantes escolhidos de \(n-1\)) ou o exclui (todos os \(r\) escolhidos de \(n-1\)). Essa identidade gera o triângulo de Pascal, em que cada entrada é a soma das duas entradas acima dela.
- Soma de todas as combinações
\[\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n\]
O número total de subconjuntos de um conjunto com \(n\) elementos é \(2^n\). Cada elemento é incluído ou excluído, dando 2 opções por elemento.
Exemplos
Amostragem para controle de qualidade
Um lote de 50 componentes é recebido, dos quais 6 são conhecidamente defeituosos. Um engenheiro de qualidade retira 8 componentes ao acaso. Quantas amostras possíveis contêm exatamente 2 itens defeituosos?
Escolher 2 defeituosos entre 6, e 6 bons entre 44:
\[\binom{6}{2} \times \binom{44}{6} = 15 \times 7.059.052 = 105.885.780\]
Total de amostras possíveis de tamanho 8:
\[\binom{50}{8} = 536.878.650\]
Probabilidade de exatamente 2 defeituosos na amostra:
\[P(X=2) = \frac{105.885.780}{536.878.650} \approx 0{,}197\]
Cerca de 20%. Essa é a distribuição hipergeométrica em ação.
Ensaio clínico: alocação de tratamento
Um ensaio recruta 20 pacientes e designa aleatoriamente 8 para o grupo de tratamento (o restante recebe placebo). Quantos grupos de tratamento diferentes são possíveis?
\[\binom{20}{8} = \frac{20!}{8!\,12!} = 125.970\]
Cada uma dessas 125.970 alocações é igualmente provável sob uma randomização adequada. A probabilidade de que um conjunto específico de 8 pacientes acabe no grupo de tratamento é \(1/125.970\).
Seleção de carteira
Um gestor de fundos deve selecionar 5 ações de uma lista de 18. Quantas carteiras diferentes são possíveis?
\[\binom{18}{5} = \frac{18!}{5!\,13!} = 8.568\]
Se 3 das 18 ações são empresas de tecnologia e o gestor quer pelo menos 2 ações de tecnologia na carteira:
- Exatamente 2 de tecnologia: \(\binom{3}{2} \times \binom{15}{3} = 3 \times 455 = 1.365\)
- Exatamente 3 de tecnologia: \(\binom{3}{3} \times \binom{15}{2} = 1 \times 105 = 105\)
\[P(\text{pelo menos 2 de tecnologia}) = \frac{1.365 + 105}{8.568} \approx 0{,}172\]
💡 Quando usar combinações
Use \(\binom{n}{r}\) quando:
- Você está escolhendo um subconjunto, grupo, comitê ou mão de cartas.
- Os itens selecionados não têm funções ou posições atribuídas.
- Trocar dois itens selecionados dá o mesmo resultado.
Use permutações quando os itens selecionados têm funções distintas (primeiro lugar, segundo lugar) ou quando o arranjo importa (senhas, sequências, classificações).
Um teste rápido: liste dois arranjos da sua seleção. Se representam o mesmo resultado, use combinações.
