Permutações
Uma permutação conta o número de formas de organizar \(r\) itens de um conjunto de \(n\), quando a ordem da seleção importa. Qualquer mudança de ordem produz uma permutação diferente.
Permutações sem repetição
O número de formas de organizar \(r\) itens escolhidos de \(n\) itens distintos, sem reutilizar nenhum item, é:
\[P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\]
O raciocínio: \(n\) escolhas para a posição 1, \(n-1\) para a posição 2, até \(n-r+1\) para a posição \(r\). O caso especial de organizar todos os \(n\) itens é \(P(n,n) = n!\).
Uma corrida de velocidade tem 8 competidores. Quantos resultados de pódio diferentes (ouro, prata, bronze) são possíveis?
\[P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336\]
A ordem importa: Usain ganhar o ouro e Yohan a prata é um resultado diferente de Yohan ganhar o ouro e Usain a prata.
Uma empresa entrevista 12 candidatos para 3 vagas distintas: Diretor, Gerente e Analista.
\[P(12, 3) = 12 \times 11 \times 10 = 1.320\]
Se as vagas fossem idênticas (simplesmente “contratar 3 de 12”), a resposta seria \(\binom{12}{3} = 220\). As funções distintas multiplicam a contagem por \(3! = 6\).
Permutações com repetição
Quando os itens podem ser reutilizados, cada posição é preenchida de forma independente a partir do conjunto completo de \(n\) itens:
\[P_{\text{rep}}(n, r) = n^r\]
Um PIN de 4 dígitos usa os dígitos de 0 a 9 com repetição permitida:
\[10^4 = 10.000 \text{ PINs possíveis}\]
Uma senha de 8 caracteres entre 62 caracteres possíveis (26 minúsculas, 26 maiúsculas, 10 dígitos):
\[62^8 \approx 2{,}18 \times 10^{14}\]
Cada caractere adicional multiplica o espaço de busca por 62. É por isso que o comprimento importa muito mais do que regras de complexidade.
Uma instalação segura usa um código de 6 caracteres com 26 letras maiúsculas, sem repetição:
\[P(26, 6) = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 = 165.765.600\]
Com repetição: \(26^6 = 308.915.776\). A restrição de não repetição reduz o espaço em cerca de 46%.
Permutações com itens idênticos
Quando alguns itens são idênticos, muitos arranjos são indistinguíveis. Se \(n\) itens contêm grupos de \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) itens idênticos:
\[P = \frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_k!}\]
Quantos arranjos distintos existem para as letras da palavra STATISTICS?
S aparece 3 vezes, T aparece 3 vezes, I aparece 2 vezes, A e C uma vez cada. Total: 10 letras.
\[P = \frac{10!}{3!\, 3!\, 2!\, 1!\, 1!} = \frac{3.628.800}{72} = 50.400\]
Sem considerar as repetições, seria fácil cometer o erro de usar \(10! = 3.628.800\): 72 vezes maior do que deveria.
Mais exemplos
Agendamento de tarefas com restrições
Um gerente de projeto precisa agendar 6 tarefas sequencialmente, mas os testes e a implantação sempre devem ser as últimas, nessa ordem específica. Quantos agendamentos válidos existem?
As últimas 2 posições estão fixas. As 4 tarefas restantes preenchem livremente as primeiras 4 posições:
\[P(4, 4) = 4! = 24\]
Ordem de chegada em uma corrida
Em uma corrida com 10 carros, de quantas formas as 4 primeiras posições podem ser ocupadas?
\[P(10, 4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040\]
A probabilidade de que um conjunto específico de 4 carros termine em uma ordem específica:
\[\frac{1}{5.040} \approx 0{,}000198\]
⚠️ Permutações assumem itens distintos e posições ordenadas
A fórmula \(P(n,r) = n!/(n-r)!\) exige que todos os \(n\) itens sejam distintos, que cada posição seja distinguível, e que nenhum item seja reutilizado. Se houver itens repetidos, use a fórmula multinomial. Se as posições não forem distinguíveis, use combinações.
💡 Permutações vs. combinações: o teste rápido
Pergunte-se: trocar dois itens selecionados dá um resultado diferente?
- Posições do pódio: sim. Use permutações.
- Membros de um comitê: não. Use combinações.
- Caracteres de uma senha: sim, “abc” e “bca” são diferentes. Use permutações com repetição.
- Números da loteria: não, o conjunto vencedor é o mesmo independentemente da ordem do sorteio. Use combinações.
A relação entre as duas: \(P(n,r) = \binom{n}{r} \times r!\). Cada combinação gera \(r!\) permutações. Ambos são casos particulares do quadro mais amplo abordado em arranjos.
