Interseção de eventos

A interseção \(A \cap B\) é o evento de que tanto \(A\) quanto \(B\) ocorram simultaneamente. É a base da probabilidade conjunta, da regra da multiplicação e da probabilidade condicional.

Definição

Sejam \(A\) e \(B\) dois eventos definidos sobre o mesmo espaço amostral \(\Omega\). A interseção \(A \cap B\) é o evento de que tanto \(A\) quanto \(B\) ocorram:

A interseção contém apenas os resultados que pertencem a ambos os eventos simultaneamente. Se nenhum resultado satisfaz essa condição, \(A \cap B = \emptyset\) e os eventos são mutuamente exclusivos.

Probabilidade da interseção

A forma de calcular \(P(A \cap B)\) depende de os eventos serem independentes ou dependentes.

Eventos independentes

Quando \(A\) e \(B\) são independentes (saber que \(A\) ocorreu não dá nenhuma informação sobre \(B\)):

Eventos dependentes

Quando \(A\) e \(B\) são dependentes, use a regra da multiplicação:

em que \(P(B \mid A)\) é a probabilidade condicional de \(B\) dado que \(A\) já ocorreu.

Regra da cadeia para múltiplos eventos

Para três ou mais eventos, a regra da multiplicação se estende em cadeia:

Para eventos independentes \(A_1, A_2, \ldots, A_n\):

\[P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \cdots \times P(A_n)\]

Para eventos dependentes (regra da cadeia geral):

\[P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2 \mid A_1) \times P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \times \cdots\]

Cada fator condiciona a todos os eventos anteriores terem ocorrido.

Exemplos passo a passo

Exemplo 1: eventos independentes - disponibilidade do sistema

Uma aplicação web depende de três serviços independentes: um banco de dados (\(D\)), um cache (\(C\)) e um gateway de API (\(G\)). Suas taxas de disponibilidade individuais são:

\[P(D) = 0{,}99, \quad P(C) = 0{,}995, \quad P(G) = 0{,}998\]

Probabilidade de que os três estejam disponíveis simultaneamente:

\[P(D \cap C \cap G) = 0{,}99 \times 0{,}995 \times 0{,}998 \approx 0{,}983\]

Apesar de cada serviço individual ter alta disponibilidade, o sistema combinado está disponível apenas 98,3% do tempo. Adicionar mais componentes sempre reduz a disponibilidade conjunta.

Exemplo 2: eventos dependentes - amostragem em controle de qualidade

Um lote contém 20 itens, 3 dos quais são defeituosos. Dois itens são retirados sem reposição. Qual é a probabilidade de que ambos sejam defeituosos?

Seja \(A\) = o primeiro item é defeituoso, \(B\) = o segundo item é defeituoso.

\[P(A) = \frac{3}{20}\]

Dado que \(A\) ocorreu (um defeituoso foi removido), restam 2 defeituosos entre 19 itens:

\[P(B \mid A) = \frac{2}{19}\]

\[P(A \cap B) = \frac{3}{20} \times \frac{2}{19} = \frac{6}{380} \approx 0{,}0158\]

Se tivéssemos assumido erroneamente independência: \(P(A) \times P(B) = (3/20)^2 = 0{,}0225\), uma sobrestimação de 42%.

Regra da cadeia: tirando três cartas sem reposição

Um baralho padrão tem 52 cartas, 13 das quais são de copas. Três cartas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de que as três sejam de copas?

\[P(\text{1ª copas}) = \frac{13}{52}\]

\[P(\text{2ª copas} \mid \text{1ª copas}) = \frac{12}{51}\]

\[P(\text{3ª copas} \mid \text{primeiras duas copas}) = \frac{11}{50}\]

\[P(\text{três copas}) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} \times \frac{11}{50} = \frac{1716}{132600} \approx 0{,}0129\]

Cerca de 1,3% de chance. A regra da cadeia lida naturalmente com as probabilidades que mudam após cada retirada.

Exemplo 3: eventos dependentes - seleção sequencial

Um processo seletivo tem duas etapas. Com base em dados históricos:

• 40% dos candidatos passam da etapa 1: \(P(R_1) = 0{,}40\)
• Dos que passam da etapa 1, 60% passam da etapa 2: \(P(R_2 \mid R_1) = 0{,}60\)

Probabilidade de passar das duas etapas:

\[P(R_1 \cap R_2) = 0{,}40 \times 0{,}60 = 0{,}24\]

Apenas 24% de todos os candidatos passam pelas duas etapas.