União de eventos

A união de dois eventos \(A \cup B\) é o evento de que pelo menos um deles ocorra. É a base da regra da adição em probabilidade e aparece em qualquer situação em que você queira saber a probabilidade de uma coisa ou outra acontecer.

Definição

Sejam \(A\) e \(B\) dois eventos definidos sobre o mesmo espaço amostral \(\Omega\). A união \(A \cup B\) é o evento de que pelo menos um de \(A\) ou \(B\) ocorra:

O “ou” em probabilidade é sempre inclusivo: \(A \cup B\) inclui resultados apenas em \(A\), apenas em \(B\), e em ambos.

Probabilidade da união

A probabilidade de \(A \cup B\) é dada pela regra da adição:

A subtração de \(P(A \cap B)\) corrige a contagem duplicada: os resultados que estão tanto em \(A\) quanto em \(B\) são incluídos em \(P(A)\) e novamente em \(P(B)\), então devem ser subtraídos uma vez.

Caso especial: eventos mutuamente exclusivos

Quando \(A\) e \(B\) não podem ocorrer os dois (\(A \cap B = \emptyset\), logo \(P(A \cap B) = 0\)):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Essa simplificação só é válida quando os eventos são incompatíveis, verdadeiramente incapazes de se sobrepor.

União de três ou mais eventos

Para três eventos, o princípio da inclusão-exclusão dá:

\[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]

O padrão se alterna: somam-se as probabilidades individuais, subtraem-se as interseções duas a duas, somam-se as interseções de três em três, e assim por diante.

Para \(n\) eventos, a fórmula geral é:

\[P\!\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_i P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots\]

Exemplos passo a passo

Exemplo 1: campanha de email marketing

Em uma campanha de e-mail enviada a 1.000 assinantes:

• 35% abriram o e-mail: \(P(A) = 0{,}35\)
• 20% clicaram em um link: \(P(C) = 0{,}20\)
• 12% abriram o e-mail e também clicaram: \(P(A \cap C) = 0{,}12\)

Qual é a probabilidade de que um assinante tenha aberto o e-mail ou clicado em um link (ou ambos)?

\[P(A \cup C) = 0{,}35 + 0{,}20 - 0{,}12 = 0{,}43\]

43% dos assinantes realizaram pelo menos uma ação.

Verificando com contagens

De 1.000 assinantes:

• 350 abriram, 200 clicaram, 120 fizeram as duas coisas.
• Só abriram: \(350 - 120 = 230\).
• Só clicaram: \(200 - 120 = 80\).
• Uma ou outra ação (ou ambas): \(230 + 80 + 120 = 430\), ou seja, \(430/1000 = 0{,}43\). ✓

Fazer uma tabela ou pensar em contagens é sempre uma boa forma de verificar um cálculo de união.

Exemplo 2: confiabilidade de um sistema

Um sistema de backup tem dois componentes independentes. O componente A falha com probabilidade 0,05 e o componente B falha com probabilidade 0,08. O sistema falha se pelo menos um componente falhar.

Como os componentes são independentes: \(P(A \cap B) = 0{,}05 \times 0{,}08 = 0{,}004\)

\[P(\text{o sistema falha}) = P(A \cup B) = 0{,}05 + 0{,}08 - 0{,}004 = 0{,}126\]

Cerca de 12,6% de chance de falha do sistema. Observação: se tivéssemos incorretamente omitido a interseção, teríamos estimado 13%, uma sobrestimação pequena, mas sistemática.

Exemplo 3: três eventos com inclusão-exclusão

Uma auditoria de software constata que, entre 200 projetos:

• 80 têm problemas de segurança (\(A\)): \(P(A) = 0{,}40\)
• 70 têm problemas de desempenho (\(B\)): \(P(B) = 0{,}35\)
• 50 têm problemas de documentação (\(C\)): \(P(C) = 0{,}25\)
• 30 têm tanto \(A\) quanto \(B\): \(P(A \cap B) = 0{,}15\)
• 20 têm tanto \(A\) quanto \(C\): \(P(A \cap C) = 0{,}10\)
• 15 têm tanto \(B\) quanto \(C\): \(P(B \cap C) = 0{,}075\)
• 10 têm os três: \(P(A \cap B \cap C) = 0{,}05\)

\[P(A \cup B \cup C) = 0{,}40 + 0{,}35 + 0{,}25 - 0{,}15 - 0{,}10 - 0{,}075 + 0{,}05 = 0{,}725\]

72,5% dos projetos têm pelo menos um tipo de problema.