O que é um teste de hipóteses?
Um teste de hipóteses usa dados amostrais para avaliar uma afirmação sobre um parâmetro populacional. Ele não prova nem refuta nada com certeza: quantifica o quão compatíveis os dados são com a hipótese nula, e fornece um quadro estruturado para tomar decisões sob incerteza.
As duas hipóteses
Todo teste de hipóteses parte de duas afirmações concorrentes sobre um parâmetro populacional:
- A hipótese nula \(H_0\): a posição padrão, geralmente “sem efeito”, “sem diferença” ou um valor específico. Ela é assumida verdadeira até que os dados forneçam evidência suficiente contra ela.
- A hipótese alternativa \(H_1\) (ou \(H_a\)): a afirmação que queremos avaliar. Ela só é aceita quando os dados são inconsistentes com \(H_0\).
Um fabricante afirma que suas baterias duram, em média, 20 horas. Um grupo de consumidores suspeita que a média real é menor.
- \(H_0\): \(\mu = 20\) horas (a afirmação está correta).
- \(H_1\): \(\mu < 20\) horas (as baterias duram menos do que o declarado).
Uma empresa farmacêutica testa um novo medicamento contra placebo.
- \(H_0\): \(\mu_{\text{medicamento}} - \mu_{\text{placebo}} = 0\) (sem efeito).
- \(H_1\): \(\mu_{\text{medicamento}} - \mu_{\text{placebo}} \neq 0\) (algum efeito, em qualquer direção).
Testes unilaterais vs. bilaterais
A escolha de \(H_1\) determina a direção do teste:
- Bilateral (\(H_1: \theta \neq \theta_0\)): rejeita-se \(H_0\) se a estatística for extrema em qualquer direção. Use quando não houver razão prévia para esperar uma direção específica.
- Unilateral (\(H_1: \theta > \theta_0\) ou \(H_1: \theta < \theta_0\)): rejeita-se apenas em uma cauda. Use quando apenas uma direção for cientificamente ou praticamente relevante.
⚠️ Escolha a direção do teste antes de ver os dados
A direção de \(H_1\) deve ser especificada com base na pergunta de pesquisa, não com base no que os dados mostram. Mudar de um teste bilateral para um unilateral depois de ver que o resultado vai na direção “certa” reduz o valor-p à metade, mas não é válido: é uma forma de p-hacking. Pré-registre suas hipóteses ou use testes bilaterais como padrão quando estiver em dúvida.
Passos de um teste de hipóteses
Veja o desenvolvimento completo desses passos com um exemplo resolvido; resumidos brevemente aqui.
Passo 1: formule as hipóteses \(H_0\) e \(H_1\).
Passo 2: escolha \(\alpha\), o nível de significância. As escolhas mais comuns são 0,05 e 0,01. Essa é a probabilidade máxima aceitável de um erro tipo I (rejeitar \(H_0\) quando ela é verdadeira).
Passo 3: calcule a estatística do teste, uma função dos dados amostrais que mede quão distantes os dados observados estão do que \(H_0\) prevê. Para um teste \(t\) de uma amostra:
\[t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\]
Passo 4: calcule o valor-p (ou compare com um valor crítico). O valor-p é a probabilidade de observar uma estatística de teste pelo menos tão extrema quanto a calculada, assumindo que \(H_0\) é verdadeira.
Passo 5: tome uma decisão. Se \(p \leq \alpha\), rejeite \(H_0\). Se \(p > \alpha\), não rejeite \(H_0\).
Passo 6: interprete no contexto. Uma decisão estatística não é o fim: traduza-a em uma conclusão prática.
A linha vermelha é o \(t = -2{,}28\) observado, que cai na região de rejeição (área vermelha). Como \(t < t^* = -1{,}699\), rejeitamos \(H_0\).
O valor-p
O valor-p é a probabilidade, calculada sob \(H_0\), de observar uma estatística de teste pelo menos tão extrema quanto a obtida.
⚠️ O valor-p não é a probabilidade de H0 ser verdadeira
A interpretação incorreta mais comum: “o valor-p é a probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira.” Isso está errado.
- Correto: o valor-p é \(P(\text{dados t\~{a}o extremos ou mais} \mid H_0 \text{ \'{e} verdadeira})\).
- Errado: o valor-p é \(P(H_0 \text{ \'{e} verdadeira} \mid \text{dados})\).
Essas são quantidades completamente diferentes. O valor-p é um conceito frequentista: ele não diz nada sobre a probabilidade de nenhuma hipótese. Um valor-p pequeno significa que os dados são improváveis sob \(H_0\), não que \(H_0\) seja improvável.
Um segundo erro comum: “um valor-p de 0,03 significa que há 3% de chance de estarmos errados.” Também incorreto. O valor-p é calculado assumindo que \(H_0\) é verdadeira; ele não pode ser interpretado como uma probabilidade de erro para nenhuma conclusão específica.
⚠️ Significância estatística não é significância prática
Um resultado pode ser estatisticamente significativo (\(p < 0{,}05\)) mas praticamente irrelevante, especialmente com amostras grandes. Com \(n = 10.000\), uma diferença de 0,001 unidades pode ser altamente significativa, mas completamente sem importância na prática.
Sempre reporte os tamanhos de efeito junto com os valores-p: o \(d\) de Cohen, o risco relativo, ou o intervalo de confiança do parâmetro. O IC indica tanto se o efeito é significativo quanto quão grande ele é.
Erros tipo I e tipo II
Dois tipos de erro são possíveis em qualquer teste de hipóteses:
| \(H_0\) verdadeira | \(H_0\) falsa | |
|---|---|---|
| Rejeitar \(H_0\) | Erro tipo I (\(\alpha\)) | Correto (poder \(= 1-\beta\)) |
| Não rejeitar \(H_0\) | Correto | Erro tipo II (\(\beta\)) |
- Erro tipo I (falso positivo): rejeitar \(H_0\) quando ela é verdadeira. Probabilidade \(= \alpha\), controlada pelo nível de significância.
- Erro tipo II (falso negativo): não rejeitar \(H_0\) quando ela é falsa. Probabilidade \(= \beta\).
- Poder \(= 1 - \beta\): probabilidade de rejeitar corretamente uma \(H_0\) falsa.
A compensação: diminuir \(\alpha\) (deslocar o valor crítico para a direita) reduz os erros tipo I, mas aumenta os erros tipo II (\(\beta\)). Para \(\alpha\) fixo, aumentar \(n\) reduz ambos os erros simultaneamente.
Exemplo completo: vida útil de baterias
Um fabricante afirma que suas baterias duram \(\mu_0 = 20\) horas. Um pesquisador amostra 30 baterias e encontra \(\bar{x} = 19{,}5\) horas, \(S = 1{,}2\) horas. Teste com \(\alpha = 0{,}05\).
Hipóteses: \(H_0: \mu = 20\) vs. \(H_1: \mu < 20\) (unilateral, esquerda).
Estatística do teste:
\[t = \frac{19{,}5 - 20}{1{,}2/\sqrt{30}} = \frac{-0{,}5}{0{,}219} \approx -2{,}28\]
Valor crítico: \(t_{0{,}05,\; 29} = -1{,}699\).
Valor-p: \(P(T_{29} < -2{,}28) \approx 0{,}015\).
Decisão: como \(t = -2{,}28 < -1{,}699\) e \(p = 0{,}015 < 0{,}05\), rejeitamos \(H_0\).
Conclusão: há evidência significativa no nível de 5% de que a vida útil média das baterias é menor do que 20 horas. A afirmação do fabricante parece estar exagerada.
Tamanho de amostra e poder
Poder é a probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando \(H_1\) é verdadeira. Para um teste \(t\) de uma amostra detectando uma diferença \(\delta = \mu_1 - \mu_0\) com \(\sigma\) conhecido:
\[n \geq \frac{(z_{\alpha} + z_{\beta})^2 \sigma^2}{\delta^2}\]
Para o exemplo das baterias: suponha que a verdadeira média seja \(\mu_1 = 19{,}5\) horas (\(\delta = 0{,}5\)), \(\sigma = 1{,}2\), \(\alpha = 0{,}05\), poder desejado \(= 0{,}80\) (\(z_\beta = 0{,}842\)):
\[n \geq \frac{(1{,}645 + 0{,}842)^2 \times 1{,}44}{0{,}25} = \frac{6{,}185 \times 1{,}44}{0{,}25} = \frac{8{,}91}{0{,}25} \approx 36\]
Com \(n = 30\) (a amostra real), o poder é levemente inferior a 80%, o que explica por que o teste rejeitou \(H_0\) por pouco.
💡 Diretrizes práticas
- Sempre especifique \(H_0\), \(H_1\), \(\alpha\) e o teste antes de coletar os dados.
- Reporte o valor-p e o tamanho de efeito, não apenas “significativo” ou “não significativo”.
- Um teste bilateral é a opção segura padrão, a menos que haja uma hipótese direcional clara estabelecida de antemão.
- Para um novo estudo, calcule o \(n\) necessário para alcançar pelo menos 80% de poder antes de coletar os dados.
- \(p > 0{,}05\) não significa que \(H_0\) seja verdadeira: significa que os dados não fornecem evidência suficiente para rejeitá-la. A ausência de evidência não é evidência de ausência.
