Teste de normalidade de Shapiro-Wilk
O teste de Shapiro-Wilk é o teste mais poderoso para normalidade em amostras pequenas a médias. Ele compara as estatísticas de ordem observadas com o que uma distribuição normal preveria, e resume a concordância em uma única estatística \(W\) entre 0 e 1.
Hipóteses
Como todo teste de normalidade, Shapiro-Wilk formula a pergunta como uma comparação direta com a própria distribuição normal:
\(H_0\): os dados vêm de uma população com distribuição normal.
\(H_1\): os dados não vêm de uma população com distribuição normal.
Rejeite \(H_0\) quando \(p \leq \alpha\). Não rejeitar \(H_0\) não prova normalidade: significa que os dados são consistentes com a normalidade no nível de significância escolhido.
A estatística W
A estatística do teste é:
\[W = \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\]
em que \(x_{(i)}\) são os valores amostrais ordenados e \(a_i\) são coeficientes derivados dos valores esperados das estatísticas de ordem de uma distribuição normal padrão. O denominador é proporcional à variância amostral.
\(W\) varia entre 0 e 1. Um valor próximo de 1 significa que os quantis observados correspondem bem aos quantis normais. Valores pequenos de \(W\) indicam desvios da normalidade.
O valor-p é obtido comparando \(W\) com sua distribuição exata (calculada por Shapiro e Wilk via simulação), não a partir de uma tabela padrão.
Exemplos
Exemplo 1: dados com distribuição normal
Os pontos seguem de perto a diagonal e \(W \approx 1\): nenhuma evidência contra a normalidade.
Exemplo 2: dados com assimetria positiva
Os pontos se curvam para fora da diagonal na cauda superior (assimetria positiva). \(W\) está substancialmente abaixo de 1 e \(p < 0{,}05\): a normalidade é rejeitada.
Interpretando W e o valor-p
Uma forma útil de ler o resultado:
- \(W > 0{,}95\) e \(p > 0{,}05\): forte consistência com a normalidade.
- \(W\) entre 0,90 e 0,95 e \(p > 0{,}05\): desvio leve, provavelmente não problemático para testes paramétricos robustos.
- \(W < 0{,}90\) ou \(p \leq 0{,}05\): desvio significativo da normalidade. Inspecione o gráfico Q-Q para entender a natureza do desvio (assimetria, caudas pesadas, outliers).
O gráfico Q-Q sempre fornece mais informação do que o valor-p isoladamente: ele mostra onde os dados se desviam da normalidade, não apenas se o fazem.
⚠️ Amostras grandes: o teste se torna excessivamente sensível
Para \(n > 100\), Shapiro-Wilk detecta desvios triviais da normalidade que não têm consequência prática para testes paramétricos. Um conjunto de dados com \(n = 500\) pode dar \(W = 0{,}993\) e \(p = 0{,}012\), rejeitando a normalidade apesar de os dados serem essencialmente normais para qualquer propósito prático.
Para amostras grandes, confie no gráfico Q-Q e considere a robustez do seu teste subsequente. O teste \(t\) e a ANOVA são bastante robustos à não normalidade leve quando \(n\) é grande, graças ao TCL.
⚠️ Amostras pequenas: o teste tem pouco poder
Para \(n < 15\), Shapiro-Wilk raramente rejeita \(H_0\) mesmo para dados claramente não normais. Um resultado não significativo com amostras pequenas é evidência fraca de normalidade. Novamente, o gráfico Q-Q é essencial.
Executando o teste em R
O teste é embutido no R base e não requer pacotes:
shapiro.test(x)A saída dá \(W\) e o valor-p. Para uma avaliação completa de normalidade, complemente com um gráfico Q-Q:
qqnorm(x)
qqline(x)O teste de Shapiro-Wilk no R é limitado a amostras entre 3 e 5.000 observações. Para \(n > 5.000\), use o teste de Anderson-Darling do pacote nortest: nortest::ad.test(x).
💡 Quando a normalidade é rejeitada: o que fazer a seguir
Rejeitar \(H_0\) não significa automaticamente que testes paramétricos sejam inválidos. Considere:
- A robustez do teste subsequente: testes \(t\) e ANOVA são bastante robustos à não normalidade leve para \(n \geq 30\).
- Transformações: transformações log, raiz quadrada, ou Box-Cox frequentemente normalizam dados com assimetria positiva.
- Alternativas não paramétricas: Wilcoxon de postos sinalizados em vez do \(t\) de uma amostra, Mann-Whitney em vez do \(t\) de duas amostras, Kruskal-Wallis em vez da ANOVA.
- Métodos bootstrap: intervalos de confiança e testes baseados em reamostragem não exigem suposição de normalidade.
O objetivo não é alcançar um resultado não significativo no teste de Shapiro-Wilk, mas usar um método apropriado para a distribuição real dos seus dados.
