Função de massa de probabilidade
A função de massa de probabilidade (PMF) atribui uma probabilidade a cada valor possível de uma variável aleatória discreta. Diferente da PDF para variáveis contínuas, a PMF dá probabilidades diretamente, não densidades: você pode ler a probabilidade de qualquer resultado diretamente da função.
Definição
A função de massa de probabilidade de uma variável aleatória discreta \(X\) é uma função \(p(x)\) que dá a probabilidade de cada resultado possível:
\[ p(x) = P(X = x) \]
Uma função \(p(x)\) é uma PMF válida se e somente se:
- \(p(x) \geq 0\) para todo \(x\).
- \(\sum_{x} p(x) = 1\) (as probabilidades somam 1 entre todos os valores possíveis).
⚠️ PMF vs PDF: uma diferença fundamental
Com uma PMF, as probabilidades são lidas diretamente: (p(3) = P(X = 3)) é uma probabilidade. Com uma PDF, (f(3)) é uma densidade, não uma probabilidade, e pode ser maior que 1. As probabilidades a partir de uma PDF exigem integrar sobre um intervalo. Nunca some uma PDF nem integre uma PMF: a ferramenta precisa corresponder ao tipo de variável.
PMFs mais comuns
Distribuição binomial
Modela o número de sucessos em \(n\) tentativas independentes, cada uma com probabilidade \(p\) de sucesso:
\[p(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \quad \text{para } x = 0, 1, \ldots, n\]
Uma fábrica produz itens com uma taxa de defeitos de 20%. Um lote de 10 itens é inspecionado. Seja (X) = número de itens defeituosos, (X \sim \text{Binomial}(10;, 0{,}2)).
- \(P(X = 0) = \binom{10}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^{10} \approx 0{,}107\): cerca de 11% dos lotes não têm defeitos.
- \(P(X = 2) = \binom{10}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^8 \approx 0{,}302\): o resultado mais provável.
- \(P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) \approx 1 - 0{,}879 = 0{,}121\): cerca de 12% dos lotes têm 4 ou mais defeitos.
Distribuição de Poisson
Modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando os eventos acontecem a uma taxa média constante \(\lambda\) e de forma independente entre si:
\[p(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \quad \text{para } x = 0, 1, 2, \ldots\]
Uma agência bancária recebe, em média, 3 clientes por minuto no horário de pico. Seja (X) = número de clientes em um minuto, (X \sim \text{Poisson}(3)).
- \(P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3} \approx 0{,}050\): 5% de chance de nenhuma chegada em um minuto.
- \(P(X = 3) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!} = \frac{27 e^{-3}}{6} \approx 0{,}224\): resultado mais provável.
- \(P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) \approx 1 - 0{,}916 = 0{,}084\): cerca de 8% de chance de 6 ou mais chegadas.
Distribuição geométrica
Modela o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso, em que cada tentativa tem probabilidade \(p\) de sucesso:
\[p(x) = (1-p)^{x-1} p \quad \text{para } x = 1, 2, 3, \ldots\]
Um vendedor fecha uma venda com probabilidade 0,3 em cada ligação, de forma independente. Seja (X) = número de ligações até a primeira venda.
- \(P(X = 1) = 0{,}3\): 30% de chance de fechar na primeira ligação.
- \(P(X = 3) = (0{,}7)^2 \times 0{,}3 = 0{,}147\): cerca de 15% de chance de precisar de exatamente 3 ligações.
- \(P(X > 5) = (0{,}7)^5 \approx 0{,}168\): cerca de 17% de chance de precisar de mais de 5 ligações.
Figure 1: PMF de três distribuições discretas comuns: Binomial(10; 0,2), Poisson(3) e Geométrica(0,3)
Relação com a CDF
A CDF de uma variável aleatória discreta é obtida somando a PMF:
\[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} p(t)\]
Inversamente, para quaisquer dois valores consecutivos \(x_{i}\) e \(x_{i+1}\):
\[p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})\]
Você pode recuperar a PMF a partir da CDF tomando diferenças, assim como se recupera a PDF a partir da CDF por derivação.
💡 Escolhendo a distribuição discreta certa
- Número fixo de tentativas, cada uma sucesso/fracasso: Binomial.
- Número de eventos em um intervalo fixo de tempo ou espaço, a uma taxa média constante: Poisson.
- Número de tentativas até o primeiro sucesso: Geométrica.
- Número de tentativas até o \(k\)-ésimo sucesso: Binomial negativa.
- Amostragem sem reposição de uma população finita: Hipergeométrica.
