Intervalo de confiança para a média
O intervalo de confiança para uma média fornece um intervalo de valores plausíveis para a média populacional \(\mu\), levando em conta a variabilidade inerente a qualquer amostra. A distribuição \(t\) é quase sempre a ferramenta correta, já que \(\sigma\) raramente é conhecido na prática. Veja o teste de hipóteses para uma média para o teste de significância correspondente.
Fórmula
Dada uma amostra aleatória de tamanho \(n\) com média amostral \(\bar{x}\) e desvio padrão amostral \(S\), um intervalo de confiança \((1-\alpha)\) para \(\mu\) é:
\[\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\]
em que \(t_{\alpha/2,\, n-1}\) é o valor crítico da distribuição \(t\) com \(n-1\) graus de liberdade tal que \(P(T > t_{\alpha/2}) = \alpha/2\).
Quando \(\sigma\) é conhecido (raro na prática), substitua \(t_{\alpha/2,\, n-1}\) por \(z_{\alpha/2}\) e \(S\) por \(\sigma\).
⚠️ Use sempre t quando σ é desconhecido - o que é quase sempre
Um erro comum é usar \(z = 1{,}96\) para um IC de 95% independentemente do tamanho da amostra. O valor \(z\) só é correto quando \(\sigma\) é realmente conhecido. Quando \(\sigma\) é estimado a partir dos dados (a situação normal), a distribuição \(t\) é a correta.
Para \(n\) grande, a diferença é desprezível: \(t_{0{,}025,\, 100} \approx 1{,}984\) vs. \(z_{0{,}025} = 1{,}960\). Mas para amostras pequenas a diferença é substancial: \(t_{0{,}025,\, 9} = 2{,}262\), o que significa um IC significativamente mais amplo. Usar \(z\) com amostras pequenas subestima a incerteza.
Valores críticos comuns para um IC de 95% (\(t_{0{,}025,\, n-1}\)):
| \(n\) | \(t_{0{,}025,\, n-1}\) |
|---|---|
| 5 | 2,776 |
| 10 | 2,228 |
| 20 | 2,093 |
| 30 | 2,045 |
| 60 | 2,000 |
| 120 | 1,980 |
| \(\infty\) | 1,960 |
Suposições
A fórmula é exata quando a população é normal. Pelo Teorema Central do Limite, ela é aproximadamente válida para populações não normais quando \(n\) é suficientemente grande (geralmente \(n \geq 30\) como regra prática, embora populações com caudas mais pesadas precisem de \(n\) maior).
Para amostras pequenas de populações não normais, considere alternativas não paramétricas como o intervalo de confiança bootstrap.
Distribuição amostral e o IC
Exemplos passo a passo
Exemplo 1: tempo de internação hospitalar
Um hospital registra o tempo de internação (dias) de uma amostra aleatória de 25 pacientes: \(\bar{x} = 6{,}4\) dias, \(S = 3{,}1\) dias. Construa um IC de 95% para a média populacional.
Passo 1: identifique os ingredientes.
\[n = 25, \quad \bar{x} = 6{,}4, \quad S = 3{,}1, \quad \alpha = 0{,}05\]
Passo 2: encontre o valor crítico.
\[t_{0{,}025,\; 24} = 2{,}064\]
Passo 3: calcule o erro padrão e a margem de erro.
\[\text{EP} = \frac{3{,}1}{\sqrt{25}} = \frac{3{,}1}{5} = 0{,}62, \qquad \text{ME} = 2{,}064 \times 0{,}62 = 1{,}28\]
Passo 4: construa o intervalo.
\[\text{IC} = 6{,}4 \pm 1{,}28 = [5{,}12;\; 7{,}68] \text{ dias}\]
Temos 95% de confiança de que o tempo médio de internação real está entre 5,1 e 7,7 dias.
Exemplo 2: processo de fabricação
Uma fábrica amostra 60 componentes e mede sua resistência à tração. Resultados: \(\bar{x} = 248{,}3\) MPa, \(S = 12{,}7\) MPa. Construa um IC de 99%.
\[t_{0{,}005,\; 59} \approx 2{,}662\]
\[\text{ME} = 2{,}662 \times \frac{12{,}7}{\sqrt{60}} = 2{,}662 \times 1{,}640 = 4{,}37 \text{ MPa}\]
\[\text{IC} = 248{,}3 \pm 4{,}37 = [243{,}9;\; 252{,}7] \text{ MPa}\]
Usando os mesmos dados (\(S = 12{,}7\) MPa):
| Configuração | \(t^*\) | EP | Margem de erro |
|---|---|---|---|
| \(n=60\), 90% | 1,671 | 1,64 | ±2,74 MPa |
| \(n=60\), 95% | 2,001 | 1,64 | ±3,28 MPa |
| \(n=60\), 99% | 2,662 | 1,64 | ±4,37 MPa |
| \(n=15\), 95% | 2,145 | 3,28 | ±7,04 MPa |
| \(n=60\), 95% | 2,001 | 1,64 | ±3,28 MPa |
| \(n=240\), 95% | 1,970 | 0,82 | ±1,62 MPa |
Quadruplicar \(n\) de 15 para 60 reduz a margem de erro à metade. Passar de 95% para 99% de confiança adiciona cerca de 1 MPa.
💡 Orientação prática
- Reporte o IC junto com a estimativa pontual: “\(\bar{x} = 248{,}3\) MPa (IC de 95%: 243,9 a 252,7 MPa)”.
- Para planejar o tamanho da amostra: decida a margem de erro máxima aceitável \(d\), depois resolva \(n \approx (t^* S / d)^2\).
- Se os dados forem muito assimétricos e \(n\) for pequeno, o IC \(t\) pode ser pouco confiável. Considere uma transformação logarítmica ou um IC bootstrap.
- ICs unilaterais (apenas limite inferior ou apenas limite superior) usam \(t_{\alpha,\, n-1}\) em vez de \(t_{\alpha/2,\, n-1}\).
- Este intervalo é sobre a média populacional, não sobre onde uma única nova observação vai cair, veja intervalo de confiança vs. intervalo de predição para essa distinção.
