Intervalo de confiança para uma proporção
O intervalo de confiança para uma proporção estima o intervalo de valores plausíveis para a verdadeira proporção populacional \(p\), construído em torno da proporção amostral \(\hat{p}\) como estimativa pontual. O intervalo de Wald padrão funciona bem para amostras grandes com \(p\) não muito extremo, mas o intervalo de escore de Wilson é mais confiável em geral. Veja o teste de hipóteses para uma proporção para o teste de significância correspondente. Para comparar dois grupos em vez de estimar um, veja o IC para a diferença de duas proporções.
O intervalo de Wald
A fórmula mais comum para um IC \((1-\alpha)\) para uma proporção é o intervalo de Wald:
\[\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
em que \(\hat{p} = x/n\) é a proporção amostral e \(z_{\alpha/2}\) é o valor crítico da normal padrão (1,96 para 95%).
A margem de erro é \(z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\).
O intervalo de escore de Wilson
O intervalo de Wilson tem melhor desempenho do que o de Wald quando \(n\) é pequeno ou \(p\) está próximo de 0 ou 1. Sua fórmula é:
\[\frac{\hat{p} + \frac{z^2}{2n} \pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^2}{4n^2}}}{1 + \frac{z^2}{n}}\]
em que \(z = z_{\alpha/2}\). Para 95% de confiança, \(z = 1{,}96\).
⚠️ O intervalo de Wald pode falhar gravemente para n pequeno ou p extremo
O intervalo de Wald exige \(n\hat{p} \geq 10\) e \(n(1-\hat{p}) \geq 10\) para que a aproximação normal seja adequada. Quando essas condições são violadas:
- Para \(\hat{p} = 0\) ou \(\hat{p} = 1\), o intervalo de Wald colapsa em um único ponto com amplitude zero, o que claramente está errado.
- Para \(n\) pequeno e \(p\) próximo de 0 ou 1, a probabilidade de cobertura real pode ser muito menor do que os 95% nominais.
O intervalo de Wilson evita esses problemas e é recomendado como padrão na maioria dos contextos aplicados. Para \(n\) muito pequeno, o intervalo exato de Clopper-Pearson (baseado na distribuição binomial) é a opção mais conservadora.
Exemplos passo a passo
Exemplo 1: taxa de defeitos na fabricação
Uma fábrica inspeciona 150 componentes e encontra 12 defeituosos. Construa um IC de 95% para a taxa de defeitos.
\[\hat{p} = \frac{12}{150} = 0{,}080, \qquad n = 150\]
Verificação: \(n\hat{p} = 12 \geq 10\) e \(n(1-\hat{p}) = 138 \geq 10\). O intervalo de Wald é adequado.
\[\text{EP} = \sqrt{\frac{0{,}080 \times 0{,}920}{150}} = \sqrt{0{,}000491} \approx 0{,}0221\]
\[\text{IC} = 0{,}080 \pm 1{,}96 \times 0{,}0221 = 0{,}080 \pm 0{,}043 = (0{,}037;\; 0{,}123)\]
A taxa de defeitos é estimada em 8,0% (IC de 95%: 3,7% a 12,3%).
Exemplo 2: taxa de resposta em ensaio clínico
Em um ensaio com 80 pacientes, 28 respondem ao tratamento. Construa um IC de 95% usando ambos os métodos.
\[\hat{p} = 28/80 = 0{,}350, \qquad n = 80\]
Intervalo de Wald:
\[\text{EP} = \sqrt{\frac{0{,}35 \times 0{,}65}{80}} \approx 0{,}0533\]
\[\text{IC}_{\text{Wald}} = 0{,}350 \pm 1{,}96 \times 0{,}0533 = (0{,}245;\; 0{,}455)\]
Intervalo de Wilson:
\[\text{centro} = \frac{0{,}350 + 1{,}96^2/160}{1 + 1{,}96^2/80} = \frac{0{,}374}{1{,}048} \approx 0{,}357\]
\[\text{IC}_{\text{Wilson}} \approx (0{,}251;\; 0{,}463)\]
Para este \(n\) e \(p\) moderados, os dois intervalos são próximos. O de Wilson é levemente mais amplo e deslocado em direção a 0,5.
Planejamento do tamanho de amostra
Para alcançar uma margem de erro de no máximo \(d\) com confiança \(1-\alpha\), resolve-se para \(n\):
\[n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2\, \hat{p}(1-\hat{p})}{d^2}\]
Se nenhuma estimativa prévia de \(p\) estiver disponível, use \(\hat{p} = 0{,}5\), que maximiza \(\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25\) e dá o tamanho de amostra mais conservador (maior):
\[n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \times 0{,}25}{d^2}\]
Um instituto de pesquisa quer estimar uma proporção de intenção de voto com margem de erro de \(\pm 3\%\) a 95% de confiança. Nenhuma estimativa prévia de \(p\) está disponível.
\[n \geq \frac{1{,}96^2 \times 0{,}25}{0{,}03^2} = \frac{3{,}8416 \times 0{,}25}{0{,}0009} = \frac{0{,}9604}{0{,}0009} \approx 1.068\]
É necessária uma amostra de pelo menos 1.068 pessoas. Se uma pesquisa anterior sugeriu \(p \approx 0{,}35\):
\[n \geq \frac{1{,}96^2 \times 0{,}35 \times 0{,}65}{0{,}03^2} = \frac{3{,}8416 \times 0{,}2275}{0{,}0009} \approx 971\]
Usar a estimativa prévia economiza cerca de 100 entrevistas.
💡 Diretrizes práticas para IC de proporções
- Use o intervalo de Wald quando \(n\hat{p} \geq 10\) e \(n(1-\hat{p}) \geq 10\).
- Use o intervalo de escore de Wilson como padrão: funciona em todos os casos e coincide com o de Wald para \(n\) grande.
- Use o intervalo exato de Clopper-Pearson para \(n\) muito pequeno ou quando \(\hat{p} = 0\) ou \(\hat{p} = 1\).
- Para o planejamento do tamanho de amostra sem estimativa prévia, use \(p = 0{,}5\).
- Reporte como: “\(\hat{p} = 0{,}35\) (IC de 95%: 0,25 a 0,46, \(n = 80\))”.
