Análise de variância (ANOVA)

A ANOVA de um fator testa se as médias de três ou mais grupos independentes são todas iguais. Ela estende o teste t de duas amostras para múltiplos grupos, controlando a taxa de erro tipo I, que se inflaria se múltiplos testes t fossem aplicados em pares. Quando uma covariável contínua também precisa ser controlada, veja a ANCOVA.

Por que não múltiplos testes t?

Com \(k\) grupos, existem \(\binom{k}{2}\) comparações par a par possíveis. Com \(\alpha = 0{,}05\), cada teste t tem 5% de chance de um falso positivo. Com 3 grupos (3 comparações), a probabilidade de pelo menos um falso positivo é \(1 - 0{,}95^3 \approx 0{,}14\): quase três vezes a taxa nominal. A ANOVA testa todos os grupos simultaneamente com uma única estatística F, mantendo o erro tipo I em \(\alpha\).

Hipóteses

As afirmações concorrentes que a ANOVA distingue são simples de enunciar: ou todas as médias de grupo são iguais, ou pelo menos uma delas não é.

Um resultado significativo indica apenas que pelo menos uma média de grupo difere. Testes post-hoc identificam quais pares diferem.

Particionando a variância

A ANOVA decompõe a variação total em dois componentes:

\[SQ_\text{total} = SQ_\text{entre} + SQ_\text{dentro}\]

em que:

• \(SQ_\text{entre} = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{y}_i - \bar{y})^2\): variação devida a diferenças entre as médias de grupo.
• \(SQ_\text{dentro} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2\): variação dentro dos grupos (residual).

A estatística F é a razão entre os quadrados médios:

Sob \(H_0\) e a suposição de normalidade, \(F \sim F(k-1, N-k)\). Valores grandes de \(F\) indicam que a variação entre grupos excede o que seria esperado apenas pela amostragem aleatória.

A tabela ANOVA

Os resultados são tipicamente apresentados em uma tabela padronizada:

Exemplo completo: três planos de dieta

Uma nutricionista compara a perda de peso (kg) em três planos de dieta após 8 semanas:

• Dieta A: 4, 5, 6, 5, 7 (\(n_1 = 5\), \(\bar{y}_1 = 5{,}4\))
• Dieta B: 8, 7, 9, 10, 8 (\(n_2 = 5\), \(\bar{y}_2 = 8{,}4\))
• Dieta C: 3, 2, 4, 3, 2 (\(n_3 = 5\), \(\bar{y}_3 = 2{,}8\))

Média geral: \(\bar{y} = (5{,}4 + 8{,}4 + 2{,}8)/3 = 5{,}533\).

\(SQ_\text{entre}\):

\[SQ_E = 5(5{,}4-5{,}533)^2 + 5(8{,}4-5{,}533)^2 + 5(2{,}8-5{,}533)^2\] \[= 5(0{,}018) + 5(8{,}211) + 5(7{,}474) = 0{,}089 + 41{,}056 + 37{,}369 = 78{,}533\]

\(SQ_\text{dentro}\) (soma dos desvios ao quadrado dentro de cada grupo):

Dieta A: \((4-5{,}4)^2+(5-5{,}4)^2+(6-5{,}4)^2+(5-5{,}4)^2+(7-5{,}4)^2 = 1{,}96+0{,}16+0{,}36+0{,}16+2{,}56 = 5{,}2\)

Dieta B: \((8-8{,}4)^2+(7-8{,}4)^2+(9-8{,}4)^2+(10-8{,}4)^2+(8-8{,}4)^2 = 0{,}16+1{,}96+0{,}36+2{,}56+0{,}16 = 5{,}2\)

Dieta C: \((3-2{,}8)^2+(2-2{,}8)^2+(4-2{,}8)^2+(3-2{,}8)^2+(2-2{,}8)^2 = 0{,}04+0{,}64+1{,}44+0{,}04+0{,}64 = 2{,}8\)

\(SQ_D = 5{,}2 + 5{,}2 + 2{,}8 = 13{,}2\)

Tabela ANOVA:

Decisão: \(F = 35{,}70 \gg F_{0{,}05,2,12} = 3{,}885\), \(p < 0{,}001\). Rejeitamos \(H_0\): pelo menos uma dieta produz uma perda de peso média diferente.

Testes post-hoc: quais grupos diferem?

A rejeição de \(H_0\) pela ANOVA só diz que algumas médias diferem. Testes post-hoc identificam quais pares, controlando as comparações múltiplas.

O HSD de Tukey (Differença Honestamente Significativa) é a opção padrão ao comparar todos os pares. Ele usa a distribuição da amplitude estudentizada e controla a taxa de erro familiar em \(\alpha\).

Para tamanhos de grupo iguais, a diferença mínima significativa entre duas médias é:

\[\text{HSD} = q_{\alpha,k,N-k} \sqrt{\frac{QM_D}{n}}\]

em que \(q_{\alpha,k,N-k}\) é o valor crítico da distribuição da amplitude estudentizada.

As três comparações par a par são significativas: todas as dietas diferem entre si. A Dieta B produz a maior perda de peso; a Dieta C, a menor.

Suposições

A ANOVA de um fator exige:

• Independência: as observações são independentes dentro de cada grupo e entre grupos.
• Normalidade: os resíduos são aproximadamente normais dentro de cada grupo. Verifique com Shapiro-Wilk ou gráficos Q-Q.
• Homocedasticidade: variâncias iguais entre grupos. Verifique com o teste de Levene.

Executando a ANOVA em R

A mesma comparação de dietas acima, mais a variante de Welch e o teste post-hoc de Tukey, ajustadas diretamente em R:

# One-way ANOVA
fit <- aov(loss ~ diet, data = df_diet)
summary(fit)

# Welch's ANOVA (unequal variances)
oneway.test(loss ~ diet, data = df_diet, var.equal = FALSE)

# Tukey post-hoc
TukeyHSD(fit)

# Levene's test for homoscedasticity
car::leveneTest(loss ~ diet, data = df_diet)

# Kruskal-Wallis (nonparametric alternative)
kruskal.test(loss ~ diet, data = df_diet)