Teste de Jarque-Bera

O teste de Jarque-Bera avalia a normalidade verificando duas propriedades específicas: assimetria (simetria) e curtose em excesso (peso das caudas). Uma distribuição normal tem assimetria 0 e curtose em excesso 0. O teste quantifica o quão distante a amostra está de ambas, e as combina em uma única estatística qui-quadrado.

Estatística do teste

A estatística combina a assimetria amostral e a curtose em excesso amostral, ambas elevadas ao quadrado, em um único número que deveria ser pequeno sob normalidade:

em que \(n\) é o tamanho da amostra, \(S\) é a assimetria amostral, e \(K\) é a curtose em excesso amostral (de modo que uma distribuição normal dá \(K-3 = 0\)). Sob \(H_0\) (normalidade), \(JB\) segue uma distribuição \(\chi^2\) com 2 graus de liberdade para \(n\) grande.

Os dois termos são os dois componentes do teste:

• \(S^2\): contribuição da assimetria. Uma distribuição assimétrica aumenta esse termo.
• \((K-3)^2/4\): contribuição da curtose em excesso. Caudas pesadas ou leves aumentam esse termo.

Hipóteses: \(H_0\): os dados são distribuídos normalmente (\(S = 0\) e \(K = 3\)). \(H_1\): a assimetria e/ou a curtose se desviam dos valores normais.

Decompondo a não normalidade

O teste JB é único entre os testes de normalidade por indicar não apenas se os dados são não normais, mas de que forma: via assimetria, curtose, ou ambas.

Os dados normais têm \(S \approx 0\) e \(K-3 \approx 0\), dando um JB pequeno. Os dados assimétricos têm \(|S|\) alto, impulsionado pela assimetria. Os dados com caudas pesadas têm \(|K-3|\) alto, impulsionado pela curtose em excesso, mesmo sendo aproximadamente simétricos.

Exemplo passo a passo

Um analista financeiro testa se os retornos diários de uma ação (\(n = 250\)) seguem uma distribuição normal. A amostra dá \(S = 0{,}61\) (assimetria positiva leve) e \(K = 4{,}82\) (caudas levemente pesadas, então \(K - 3 = 1{,}82\)).

Estatística do teste:

\[JB = \frac{250}{6}\left(0{,}61^2 + \frac{1{,}82^2}{4}\right) = 41{,}67 \times \left(0{,}372 + 0{,}828\right) = 41{,}67 \times 1{,}200 = 50{,}0\]

Valor crítico (\(\chi^2_{0{,}05,\, 2} = 5{,}991\)) e valor-p (\(p \approx 0{,}000\)).

Decisão: rejeitamos \(H_0\). Os retornos são significativamente não normais, com contribuições tanto da assimetria quanto da curtose em excesso. Isso é típico de retornos financeiros, que tendem a ser leptocúrticos (caudas gordas) e levemente assimétricos.

Suposições e limitações

A principal fraqueza do teste é sua dependência de uma aproximação assintótica que só funciona bem com uma amostra razoavelmente grande.

Quando usar JB vs. Shapiro-Wilk

O teste JB é padrão em econometria e finanças, onde amostras grandes são comuns e o interesse em caudas gordas é alto. Para estatística geral, Shapiro-Wilk geralmente é preferido.

Executando o teste em R

O teste JB está disponível nos pacotes tseries e moments. Ambos dão o mesmo resultado:

library(tseries)
jarque.bera.test(x)

# Or manually:
library(moments)
n <- length(x)
S <- skewness(x)
K <- kurtosis(x)   # moments uses excess kurtosis by default
JB <- n/6 * (S^2 + (K - 3)^2 / 4)
p_val <- pchisq(JB, df = 2, lower.tail = FALSE)