Distribuição Binomial
A distribuição binomial modela o número de sucessos em um número fixo de ensaios independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso. É uma das distribuições mais usadas em estatística, aparecendo em controle de qualidade, ensaios clínicos, testes A/B e análise de pesquisas.
Definição
Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição binomial com parâmetros \(n\) (número de ensaios) e \(p\) (probabilidade de sucesso por ensaio), escrita \(X \sim \text{Binomial}(n, p)\), se:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n\]
em que \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) é o coeficiente binomial, que conta o número de formas de distribuir \(k\) sucessos entre \(n\) ensaios.
A distribuição binomial tem dois requisitos: os ensaios devem ser independentes, e a probabilidade de sucesso \(p\) deve ser constante em todos os ensaios. Quando isso se cumpre, \(X\) conta quantos dos \(n\) ensaios resultam em sucesso.
Função de massa de probabilidade e CDF
A PMF dá a probabilidade de exatamente \(k\) sucessos. A função de distribuição acumulada acumula essas probabilidades:
\[F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\]
Propriedades
Para \(X \sim \text{Binomial}(n, p)\):
- Valor esperado (média)
\[E(X) = np\]
- Variância
\[\text{Var}(X) = np(1-p)\]
- Assimetria
\[\text{Assimetria} = \frac{1 - 2p}{\sqrt{np(1-p)}}\]
A distribuição é simétrica quando \(p = 0{,}5\), assimétrica à direita quando \(p < 0{,}5\) e assimétrica à esquerda quando \(p > 0{,}5\). À medida que \(n\) aumenta, a distribuição se torna mais simétrica independentemente de \(p\).
- Curtose
\[g_2 = \frac{1 - 6p(1-p)}{np(1-p)}\]
- Função quantil
A função quantil \(Q(u)\) dá o menor inteiro \(k\) tal que \(F(k) \geq u\). Não existe uma expressão fechada; a maioria dos softwares a calcula numericamente.
Exemplo passo a passo
Uma empresa farmacêutica realiza um ensaio clínico com 15 pacientes. Com base em dados anteriores, o medicamento tem uma taxa de resposta de 40% (\(p = 0{,}4\)). Seja \(X\) = número de pacientes que respondem, \(X \sim \text{Binomial}(15;\, 0{,}4)\).
Probabilidade de exatamente 6 respostas:
\[P(X = 6) = \binom{15}{6}(0{,}4)^6(0{,}6)^9 = 5005 \times 0{,}004096 \times 0{,}010078 \approx 0{,}207\]
Número esperado de respostas:
\[E(X) = 15 \times 0{,}4 = 6 \text{ pacientes}\]
Variância e desvio padrão:
\[\text{Var}(X) = 15 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 3{,}6, \qquad \text{SD}(X) = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90\]
Probabilidade de 8 ou mais respostas (resultado incomumente bom):
\[P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7) = 1 - F(7) \approx 1 - 0{,}787 = 0{,}213\]
Cerca de 21% dos ensaios desse tamanho mostrariam 8 ou mais respondedores só por acaso.
- Teste A/B: 500 usuários veem um novo design de site, cada um clicando (sucesso) com probabilidade 0,12. \(X \sim \text{Binomial}(500;\, 0{,}12)\). Cliques esperados: 60.
- Controle de qualidade: um lote de 200 componentes tem uma taxa de defeitos de 2%. \(X \sim \text{Binomial}(200;\, 0{,}02)\). Defeitos esperados: 4.
- Pesquisa: 1.000 eleitores são perguntados se apoiam uma medida. Se o apoio real é de 55%, \(X \sim \text{Binomial}(1000;\, 0{,}55)\). Sins esperados: 550.
⚠️ As duas suposições que costumam ser violadas
A distribuição binomial exige:
Independência: o resultado de cada ensaio não deve afetar os demais. Na prática, isso é violado quando se amostra sem reposição de uma população pequena (use a distribuição hipergeométrica em vez disso), ou quando os resultados são correlacionados (medidas repetidas no mesmo indivíduo, doenças contagiosas se propagando em uma rede).
\(p\) constante: a probabilidade de sucesso deve ser a mesma em todos os ensaios. Se \(p\) varia entre ensaios (pacientes diferentes têm taxas de resposta basais diferentes, por exemplo), a soma de Bernoullis deixa de ser binomial. Nesse caso, um modelo beta-binomial é mais apropriado.
Verifique sempre essas suposições antes de usar a binomial. Um erro comum é aplicá-la a dados dependentes apenas porque os resultados são binários.
Aproximação normal
Quando \(n\) é grande e \(p\) não está muito perto de 0 ou 1, a distribuição binomial é bem aproximada por uma distribuição normal:
\[X \sim \text{Binomial}(n, p) \approx \mathcal{N}(np,\ np(1-p))\]
Uma regra prática comum para que a aproximação seja adequada: \(np \geq 5\) e \(n(1-p) \geq 5\).
Figure 1: Para n=50 e p=0,4 a aproximação normal (curva vermelha) se ajusta bem à PMF binomial
💡 Relação com outras distribuições
- Bernoulli: \(\text{Binomial}(1, p) = \text{Bernoulli}(p)\).
- Aproximação de Poisson: quando \(n\) é grande e \(p\) é pequeno, \(\text{Binomial}(n, p) \approx \text{Poisson}(\lambda = np)\).
- Aproximação normal: quando \(np \geq 5\) e \(n(1-p) \geq 5\).
- Hipergeométrica: use em vez da binomial quando a amostragem for sem reposição de uma população finita.
